Derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede pra derivar a função f(x) dada pelo produto de duas funções polinomiais. Estamos no tema Regra do Produto de derivadas e vamos precisar lembrar que, se f(x)=u(x)·v(x), então fʼ(x)=uʼ(x)·v(x)+u(x)·vʼ(x).
Passo 2
Identificamos as funções u(x)=x³+3x+7 e v(x)=x²−6x+8.
Passo 3
Calculamos as derivadas de cada parcela usando a derivada de potências:
uʼ(x)=\frac{d}{dx}(x³+3x+7)=3x²+3
vʼ(x)=\frac{d}{dx}(x²−6x+8)=2x−6
vʼ(x)=\frac{d}{dx}(x²−6x+8)=2x−6
Passo 4
Aplicamos a Regra do Produto:
fʼ(x)=uʼ(x)·v(x)+u(x)·vʼ(x)
Passo 5
Substituímos u, v, uʼ e vʼ e depois expandimos e somamos termos semelhantes para simplificar:
uʼ( x)·v( x)=(3x²+3)(x²−6x+8)=3x⁴−18x³+27x²−18x+24
u( x)·vʼ( x)=(x³+3x+7)(2x−6)=2x⁴−6x³+6x²−4x−42
Somando as duas expansões temos
u( x)·vʼ( x)=(x³+3x+7)(2x−6)=2x⁴−6x³+6x²−4x−42
Somando as duas expansões temos
fʼ(x)=5x⁴−24x³+33x²−22x−18
Resposta
fʼ(x)=5x⁴−24x³+33x²−22x−18