Calcule a integral
integral-1^0 integral-1^raiz[3]x(cos (1+3 y^4))^5 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral-1^0 integral-1^raiz[3]x(cos (1+3 y^4))^5 d y d x
Estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituições para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite externo é para $ x $ de -1 a 0, e para cada $ x $, $ y $ varia de -1 até a raiz cúbica de $ x $ (que é x ).
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem dos limites. Em vez de integrar $ y $ de -1 a x para cada $ x $, vamos integrar $ x $ para cada $ y $. Assim, $ y $ vai de -1 a 0, e para cada $ y $, $ x $ vai de $ y^3 $ até 0 (já que $ x = y^3 $ é a inversa de $ y = \sqrt[3]{x} $).

Passo 3

Com a ordem de integração trocada, a integral fica assim:
integral-1^0 integraly^3^0 (cos (1+3 y^4))^5 d x d y
Observe que $ \left(\cos \left(1+3 y{4}\right)\right){5} $ é independente de $ x $. Isso simplifica a integração em relação a $ x $.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a $ x $:
x
Agora, nossa integral dupla ficou reduzida a uma integral simples em $ y $:
integraly^3^0 (cos (1+3 y^4))^5 d x = (cos (1+3 y^4))^5 cdot (0 - y^3) = - y^3 (cos (1+3 y^4))^5

Passo 5

Vamos simplificar a expressão tirando o sinal negativo para inverter os limites da integral:
integral0^-1 y^3 (cos (1+3 y^4))^5 d y = integral-1^0 y^3 (cos (1+3 y^4))^5 d y
Agora, temos:
integral-1^0 y^3 (cos (1+3 y^4))^5 d y

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
u = 1 + 3 y^4
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ y $ é:
u

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral (cos(u))^5 cdot du12 = 112 integral cos^5(u) du
Agora, precisamos calcular $ \int \cos^{5}(u) du $.

Passo 8

Para integrar $ \cos^{5}(u) $, usamos a fórmula de redução para potências ímpares de cosseno:
cos^5(u)
Aplicando isso para $ n = 5 $:
integral cos^n(u) du = cos^n-1(u) sin(u)n + n-1n integral cos^n-2(u) du

Passo 9

Repetimos o processo para $ \int \cos^{3}(u) du $:
integral cos^3(u) du
E sabemos que $ \int \cos(u) du = \sin(u) + C $.

Passo 10

Substituindo de volta, temos:
integral cos^5(u) du = cos^4(u) sin(u)5 + 45 ( cos^2(u) sin(u)3 + 23 sin(u) ) + C
Simplificando:
= cos^4(u) sin(u)5 + 4 cos^2(u) sin(u)15 + 8 sin(u)15 + C

Passo 11

Voltando à nossa substituição original $ u = 1 + 3 y^{4} $, substituímos $ u $ na expressão integrada e aplicamos os limites de integração de $ y = -1 $ a $ y = 0 $:
u = 1 + 3 y^4
Calculando os limites:
Para $ y = -1 $:
u
Para $ y = 0 $:
y = -1

Passo 12

Agora, substituímos os limites na expressão:
112 [ ( cos^4(1) sin(1)5 + 4 cos^2(1) sin(1)15 + 8 sin(1)15 ) - ( cos^4(4) sin(4)5 + 4 cos^2(4) sin(4)15 + 8 sin(4)15 ) ]

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
112 [ cos^4(1) sin(1)5 + 4 cos^2(1) sin(1)15 + 8 sin(1)15 - ( cos^4(4) sin(4)5 + 4 cos^2(4) sin(4)15 + 8 sin(4)15 ) ]
Você pode calcular esse valor numericamente usando uma calculadora ou software de matemática para obter uma aproximação decimal.

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