Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular:
Estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituições para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite externo é para $ x $ de -1 a 0, e para cada $ x $, $ y $ varia de -1 até a raiz cúbica de $ x $ (que é
).
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem dos limites. Em vez de integrar $ y $ de -1 a
para cada $ x $, vamos integrar $ x $ para cada $ y $. Assim, $ y $ vai de -1 a 0, e para cada $ y $, $ x $ vai de $ y^3 $ até 0 (já que $ x = y^3 $ é a inversa de $ y = \sqrt[3]{x} $).
Passo 3
Com a ordem de integração trocada, a integral fica assim:
Observe que $ \left(\cos \left(1+3 y{4}\right)\right){5} $ é independente de $ x $. Isso simplifica a integração em relação a $ x $.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em relação a $ x $:
Agora, nossa integral dupla ficou reduzida a uma integral simples em $ y $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão tirando o sinal negativo para inverter os limites da integral:
Agora, temos:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ y $ é:
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Agora, precisamos calcular $ \int \cos^{5}(u) du $.
Passo 8
Para integrar $ \cos^{5}(u) $, usamos a fórmula de redução para potências ímpares de cosseno:
Aplicando isso para $ n = 5 $:
Passo 9
Repetimos o processo para $ \int \cos^{3}(u) du $:
E sabemos que $ \int \cos(u) du = \sin(u) + C $.
Passo 10
Substituindo de volta, temos:
Simplificando:
Passo 11
Voltando à nossa substituição original $ u = 1 + 3 y^{4} $, substituímos $ u $ na expressão integrada e aplicamos os limites de integração de $ y = -1 $ a $ y = 0 $:
Calculando os limites:
Para $ y = -1 $:
Para $ y = 0 $:
Passo 12
Agora, substituímos os limites na expressão:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Você pode calcular esse valor numericamente usando uma calculadora ou software de matemática para obter uma aproximação decimal.