Calcule a integral
integral(sen(x))^2(cos (3 x))^2 d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral (sin x)^2 (cos 3x)^2,dx. O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas de redução de potência para reescrever quadrados de senos e cossenos em termos de cossenos de múltiplos ângulos, o que facilita a integração.

Passo 2

Aplicamos as fórmulas de redução de potência:
sin^2 x = 1 - cos 2x2, cos^2 3x = 1 + cos 6x2

Passo 3

Substituindo essas identidades na integral, obtemos:
integral (sin x)^2 (cos 3x)^2,dx = integral (1 - cos 2x)(1 + cos 6x)4,dx

Passo 4

Expandindo o produto dentro da integral:
(1 - cos 2x)(1 + cos 6x) = 1 + cos 6x - cos 2x - (cos 2x)(cos 6x)

Passo 5

Para simplificar o termo cos 2xcos 6x, usamos a identidade de produto:
cos A cos B = cos(A+B) + cos(A-B)2 Longrightarrow cos 2xcos 6x = cos 8x + cos 4x2

Passo 6

Substituindo de volta e organizando os termos, o integrando vira uma soma de cossenos:
14l(1 + cos 6x - cos 2x - tfrac12(cos 8x + cos 4x)r) = 14 - 14cos 2x + 14cos 6x - 18cos 4x - 18cos 8x

Passo 7

Agora integramos termo a termo, lembrando que integral cos(kx),dx = tfrac1ksin(kx):
integral 14,dx = x4, integral -14cos 2x,dx = -18sin 2x, integral 14cos 6x,dx = 124sin 6x,

Passo 8

integral -18cos 4x,dx = -132sin 4x, integral -18cos 8x,dx = -164sin 8x

Passo 9

Somando tudo e incluindo a constante de integração, obtemos o resultado final.

Resposta

x4 - 18sin(2x) - 132sin(4x) + 124sin(6x) - 164sin(8x) + C.

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