Encontre a solução geral da EDO abaixo utilizando série de potências.
y^prime=-2 x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y′=–2x y usando séries de potências. Vamos assumir que a solução y pode ser escrita como uma soma de potências de x e extrair uma relação de recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Assumimos y como série de potências centrada em zero:
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1

Passo 3

Substituímos na EDO y′=–2x y:
sumn=1^inftyn,anx^n-1=-2xsumn=0^inftyanx^n=-2sumn=0^inftyanx^n+1

Passo 4

Reindexamos os somatórios para comparar coeficientes de x^n:
Lado esquerdo (n→n+1):
sumn=0^infty(n+1)an+1x^n
Lado direito (n→n–1):
sumn=1^infty(-2)an-1x^n
Do termo x^0:
(0+1)a1=0implies a1=0

Passo 5

Para n≥1 igualamos coeficientes de x^n e obtemos a relação de recorrência:
(n+1)an+1=-2an-1implies an+1=-2n+1,an-1
Dessa regra segue que todos os coeficientes ímpares valem zero e que os pares satisfazem
a2n=(-1)^na0n!

Passo 6

Logo a série fica
y(x)=a0sumn=0^infty(-1)^nx^2nn!=a0e^-x^2
Chamando a_0 de constante arbitrária C, temos a solução geral.

Resposta

y=C,e^-x^2

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