Encontre a solução geral da EDO abaixo utilizando série de potências.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y′=–2x y usando séries de potências. Vamos assumir que a solução y pode ser escrita como uma soma de potências de x e extrair uma relação de recorrência para os coeficientes.
Passo 2
Assumimos y como série de potências centrada em zero:
Então
Passo 3
Substituímos na EDO y′=–2x y:
Passo 4
Reindexamos os somatórios para comparar coeficientes de x^n:
Lado esquerdo (n→n+1):
Lado esquerdo (n→n+1):
Lado direito (n→n–1):
Do termo x^0:
Passo 5
Para n≥1 igualamos coeficientes de x^n e obtemos a relação de recorrência:
Dessa regra segue que todos os coeficientes ímpares valem zero e que os pares satisfazem
Passo 6
Logo a série fica
Chamando a_0 de constante arbitrária C, temos a solução geral.