Derive as seguintes funções:
f(x)=x^3+3 x+7x^2-6 x+8

Passo 1

Neste exercício vamos derivar a função racional f(x) = x^3 + 3x + 7x^2 - 6x + 8. O conteúdo principal é a regra do quociente e a derivação de polinômios.

Passo 2

Definimos as funções
u(x) = x^3 + 3x + 7,
v(x) = x^2 - 6x + 8
Pela regra do quociente, a derivada de f(x)=u(x)v(x) é
f'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v. Como são polinômios, aplicamos a regra de potência:
u'(x) = 3x^2 + 3,
v'(x) = 2x - 6

Passo 4

Substituímos u, v, u' e v' na fórmula do quociente e obtemos:
f'(x) = (3x^2 + 3)(x^2 - 6x + 8) - (x^3 + 3x + 7)(2x - 6)(x^2 - 6x + 8)^2

Passo 5

Expandimos os produtos e subtraímos para simplificar o numerador:
Primeiro produto:
(3x^2 + 3)(x^2 - 6x + 8) = 3x^4 - 18x^3 + 27x^2 - 18x + 24
Segundo produto:
(x^3 + 3x + 7)(2x - 6) = 2x^4 - 6x^3 + 6x^2 - 4x - 42
Subtraindo-os, o numerador fica:
x^4 - 12x^3 + 21x^2 - 14x + 66
Esse é o numerador final da derivada, e o denominador é (x^2 - 6x + 8)^2.

Resposta

f'(x) = x^4 - 12x^3 + 21x^2 - 14x + 66(x^2 - 6x + 8)^2

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