Encontre a solução geral da EDO abaixo utilizando série de potências.
(1+x) y^prime=y

Passo 1

A equação é uma EDO de primeira ordem linear:
Temos
(1+x)y'=y
Queremos a solução geral usando série de potências centrada em x=0.

Passo 2

Assumimos que a solução y é dada por uma série de potências em x:
y=sumn=0^infty an x^n
Logo, a derivada é
y'=sumn=1^infty n an x^n-1=sumn=0^infty (n+1)an+1 x^n

Passo 3

Multiplicamos y' por 1+x:
(1+x)y'=y'+x y'
Em termos de séries:
y' = sumn=0^infty (n+1)an+1 x^n
x y' = sumn=0^infty (n+1)an+1 x^n+1 = sumn=1^infty n an x^n

Passo 4

Somando as duas séries obtemos o lado esquerdo:
(1+x)y'=sumn=0^infty (n+1)an+1 x^n + sumn=1^infty n an x^n
E o lado direito é
y=sumn=0^infty an x^n

Passo 5

Igualando coeficientes de x^0:
a1 = a0
Para n>=1, igualamos os coeficientes de x^n:
(n+1)an+1 + n an = an
Isso dá a recorrência
an+1 = 1-nn+1,an

Passo 6

Usando a recorrência:
Para n=1: a2 = 0. Então todos os an com n>=2 são zero. Assim a série se reduz a
y = a0 + a1 x = a0(1+x)
A constante a0 é o parâmetro geral da solução.

Resposta

y = C(1+x)

Exercícios relacionados