Nos exercícios 1. a 6. derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
Passo 1
O enunciado pede: derivar a função
Informações relevantes que temos:
- A expressão contém raízes aninhadas; note que
, então a função pode ser escrita usando o valor absoluto. - A presença de
normalmente exige tratar casos , (e verificar ) porque tem derivada diferente de cada lado. - Vamos obter a derivada para
e para e checar o que acontece em .
Nenhuma outra informação será pedida; agora começamos a resolução.
Passo 2
Simplificação inicial usando
. Então podemos reescrever
Para derivar, vamos tratar separadamente os casos
e
, porque aí
vira
ou
e as derivadas ficam mais simples. Depois verificamos
.
Passo 3
Revisão das regras que usaremos (aula rápida):
- Regra da cadeia para composição: se
Aqui
é a função interna; essa fórmula é apenas a aplicação da regra da cadeia com
e
.
- Derivada do valor absoluto: para
,
ou seja
.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.]
Passo 4
Caso
. Aqui
. Para organizar, defino funções intermediárias (isso ajuda na aplicação da cadeia):
Derivo cada uma:
-
porque . - Para
aplico a fórmula da raiz:
- Para
,
Agora substituo
e escrevo tudo em termos de
e raízes:
Coloco tudo sobre um denominador comum para simplificar o numerador: o numerador é
Portanto
Passo 5
Caso
. Aqui
. Defino funções intermediárias adequadas:
Derivo:
-
. - Para
,
- Para
,
Substituindo
e simplificando análogo ao caso anterior:
Passo 6
Verificação em
. Primeiro avalio a função:
. Agora verifico se a derivada existe em
comparando as derivadas laterais (ou o limite das fórmulas acima quando
).
- Para
: observe a expressão do numerador do caso , quando . O denominador contém o fator e , que ambos tendem a quando . Logo o quociente tende para . Portanto a derivada pela direita diverge para . - Para
: na expressão do caso o numerador quando , e novamente o denominador tende a , então o quociente tende a . Portanto a derivada pela esquerda diverge para .
Como as derivadas laterais não coincidem (nem são finitas), a derivada emnão existe.