Nos exercícios 1. a 6. derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
f(x)=\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}}}}

Passo 1

O enunciado pede: derivar a função
f(x)=\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}}}}.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão contém raízes aninhadas; note que \sqrt{x^{2}}=|x|, então a função pode ser escrita usando o valor absoluto.
  • A presença de |x| normalmente exige tratar casos x>0, x<0 (e verificar x=0) porque |x| tem derivada diferente de cada lado.
  • Vamos obter a derivada para x>0 e para x<0 e checar o que acontece em x=0.
    Nenhuma outra informação será pedida; agora começamos a resolução.

Passo 2

Simplificação inicial usando \sqrt{x^{2}}=|x|. Então podemos reescrever
f(x)=\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+|x|}}.
Para derivar, vamos tratar separadamente os casos x>0 e x<0, porque aí |x| vira x ou -x e as derivadas ficam mais simples. Depois verificamos x=0.

Passo 3

Revisão das regras que usaremos (aula rápida):
  • Regra da cadeia para composição: se F(x)=g(h(x))\), então \(F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\). Ou seja, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna. - Derivada da raiz quadrada: se \(G(x)=\sqrt{u(x)}\), então \[G'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Aqui u(x) é a função interna; essa fórmula é apenas a aplicação da regra da cadeia com g(u)=\sqrt{u} e g'(u)=1/(2\sqrt{u}).
  • Derivada do valor absoluto: para x\neq0,
\frac{d}{dx}|x|=\begin{cases} 1,& x>0,\\[4pt] -1,& x<0, \end{cases}
ou seja \frac{d}{dx}|x|=\dfrac{x}{|x|}\] para \(x\neq0.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.]

Passo 4

Caso x>0. Aqui |x|=x. Para organizar, defino funções intermediárias (isso ajuda na aplicação da cadeia):
r(x)=x,\qquad s(x)=\sqrt{x^{2}+r(x)}=\sqrt{x^{2}+x},\qquad f(x)=\sqrt{x^{2}+s(x)}.
Derivo cada uma:
  • r'(x)=1 porque r(x)=x.
  • Para s(x)=\sqrt{x^{2}+x} aplico a fórmula da raiz:
s'(x)=\frac{(x^{2}+x)'}{2\sqrt{x^{2}+x}}=\frac{2x+1}{2s(x)}=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x}}.
  • Para f(x)=\sqrt{x^{2}+s(x)},
f'(x)=\frac{(x^{2}+s(x))'}{2\sqrt{x^{2}+s(x)}}=\frac{2x+s'(x)}{2f(x)}.
Agora substituo s'(x) e escrevo tudo em termos de x e raízes:
f'(x)=\frac{2x+\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x}}}{2\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x}}}.
Coloco tudo sobre um denominador comum para simplificar o numerador: o numerador é
2x+\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x}}=\frac{4x\sqrt{x^{2}+x}+2x+1}{2\cdot 2\sqrt{x^{2}+x}}=\frac{4x\sqrt{x^{2}+x}+2x+1}{4\sqrt{x^{2}+x}}.
Portanto
f'(x)=\frac{4x\sqrt{x^{2}+x}+2x+1}{4\sqrt{x^{2}+x}\,\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x}}}\quad\text{para }x>0.

Passo 5

Caso x<0. Aqui |x|=-x. Defino funções intermediárias adequadas:
r(x)=-x,\qquad s(x)=\sqrt{x^{2}+r(x)}=\sqrt{x^{2}-x},\qquad f(x)=\sqrt{x^{2}+s(x)}.
Derivo:
  • r'(x)=-1.
  • Para s(x)=\sqrt{x^{2}-x},
s'(x)=\frac{(x^{2}-x)'}{2\sqrt{x^{2}-x}}=\frac{2x-1}{2s(x)}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x}}.
  • Para f(x)=\sqrt{x^{2}+s(x)},
f'(x)=\frac{2x+s'(x)}{2f(x)}.
Substituindo s'(x) e simplificando análogo ao caso anterior:
f'(x)=\frac{2x+\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x}}}{2\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}-x}}} =\frac{4x\sqrt{x^{2}-x}+2x-1}{4\sqrt{x^{2}-x}\,\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}-x}}}\quad\text{para }x<0.

Passo 6

Verificação em x=0. Primeiro avalio a função: f(0)=\sqrt{0+\sqrt{0+\sqrt{0}}}=0. Agora verifico se a derivada existe em 0 comparando as derivadas laterais (ou o limite das fórmulas acima quando x\to0^\pm).
  • Para x\to0^{+}: observe a expressão do numerador do caso x>0, 4x\sqrt{x^{2}+x}+2x+1\to 1 quando x\to0^{+}. O denominador contém o fator \sqrt{x^{2}+x} e \sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x}}, que ambos tendem a 0 quando x\to0^{+}. Logo o quociente tende para +\infty. Portanto a derivada pela direita diverge para +\infty.
  • Para x\to0^{-}: na expressão do caso x<0 o numerador 4x\sqrt{x^{2}-x}+2x-1\to -1 quando x\to0^{-}, e novamente o denominador tende a 0^{+}, então o quociente tende a -\infty. Portanto a derivada pela esquerda diverge para -\infty.
    Como as derivadas laterais não coincidem (nem são finitas), a derivada em x=0 não existe.

Resposta

\text{Para }x>0:\quad f'(x)=\frac{4x\sqrt{x^{2}+x}+2x+1}{4\sqrt{x^{2}+x}\,\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x}}}
\text{Para }x<0:\quad f'(x)=\frac{4x\sqrt{x^{2}-x}+2x-1}{4\sqrt{x^{2}-x}\,\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}-x}}}
\text{Em }x=0:\quad\text{a derivada não existe.}ã

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