Nos exercícios 1. a 6. derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
f(x)= \begin{cases}x^{3} \sin \frac{1}{x^{4}} & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes e pede que a derivemos (ou seja, encontre f'(x)\) para todo \(x\)). Informações importantes que temos: \[f(x)=\begin{cases} x^{3}\sin\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}, & \text{se } x\neq 0,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0. \end{cases}
Perguntas implícitas: calcular f'(x)\] para \(x\neq 0 e calcular f'(0) (usar a definição de derivada no ponto 0). Não vou resolver nada ainda, apenas listei o que o exercício pede e quais são os dados.]

Passo 2

Derivação para x\neq 0: primeiro observe que, para x\neq 0, podemos ver f como produto de duas funções:
u(x)=x^{3},\qquad v(x)=\sin\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}.
Vou usar a regra do produto. A regra do produto diz que, para duas funções u e v diferenciáveis,
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui u'(x)=3x^{2}. Agora precisamos de v'(x); para isso usamos a regra da cadeia porque v(x)=\sin(t(x)) com t(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{4}}.

Passo 3

Regra da cadeia para v: a regra da cadeia diz que se v(x)=\sin(t(x)) então
v'(x)=\cos(t(x))\cdot t'(x).
No nosso caso t(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{4}}=x^{-4}. Derivando t obtemos
t'(x)=(-4)x^{-5}=-\displaystyle\frac{4}{x^{5}}.
Portanto
v'(x)=\cos\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}\cdot\left(-\displaystyle\frac{4}{x^{5}}\right) =-\displaystyle\frac{4}{x^{5}}\cos\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto f'(x)=u'v+uv'. Substituindo:
f'(x)=3x^{2}\sin\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}} +x^{3}\left(-\displaystyle\frac{4}{x^{5}}\cos\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}\right).
Simplificando o segundo termo: x^{3}\cdot\left(-\dfrac{4}{x^{5}}\right)=-\dfrac{4}{x^{2}}. Logo, para x\neq 0 obtemos
f'(x)=3x^{2}\sin\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}-\displaystyle\frac{4}{x^{2}}\cos\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}.
Essa é a forma simplificada da derivada quando x\neq 0. Uma forma equivalente, se quiser, é
f'(x)=\frac{3x^{4}\sin\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}-4\cos\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}}{x^{2}}.

Passo 5

Agora calculamos f'(0) usando a definição de derivada no ponto 0. A definição diz:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-0}{h}.
Como h\neq 0 na razão, usamos a expressão para f(h) quando h\neq 0:
\frac{f(h)}{h}=\frac{h^{3}\sin\!\displaystyle\frac{1}{h^{4}}}{h}=h^{2}\sin\!\displaystyle\frac{1}{h^{4}}.
Portanto
f'(0)=\lim_{h\to 0}h^{2}\sin\!\displaystyle\frac{1}{h^{4}}.

Passo 6

Para avaliar \lim_{h\to 0}h^{2}\sin\!\displaystyle\frac{1}{h^{4}} usamos a desigualdade conhecida |\sin t|\le 1 para todo t. Assim
\left|h^{2}\sin\!\displaystyle\frac{1}{h^{4}}\right|\le h^{2}.
Como \lim_{h\to 0}h^{2}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
\lim_{h\to 0}h^{2}\sin\!\displaystyle\frac{1}{h^{4}}=0.
Logo f'(0)=0. Isso mostra que a derivada existe em 0 e vale 0.

Passo 7

Resumo e observação didática rápida (útil para a prova): a parte para x\neq 0 pede uso combinado de regra do produto e regra da cadeia; para x=0 é obrigatório usar a definição de derivada e o squeeze theorem para lidar com a oscilação \sin(1/h^{4}). Uma observação extra: embora f seja diferenciável em 0, a função f' não é contínua em 0 porque o termo -\dfrac{4}{x^{2}}\cos\!\dfrac{1}{x^{4}} fica arbitrariamente grande quando x\to 0 (ou seja, não há limite finito de f'(x) quando x\to 0) — isso não era pedido, mas é bom saber.

Resposta

f'(x)=\begin{cases} 3x^{2}\sin\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}-\displaystyle\frac{4}{x^{2}}\cos\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}, & x\neq 0,\\[8pt] 0, & x=0. \end{cases}]

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