Nos exercícios 1. a 6. derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
f(x)= \begin{cases}x^{3} \sin \frac{1}{x^{4}} & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes e pede que a derivemos (ou seja, encontre f'(x)\) para todo \(x\)). Informações importantes que temos:
\[f(x)=\begin{cases} x^{3}\sin\!\displaystyle\frac{1}{x^{4}}, & \text{se } x\neq 0,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0. \end{cases}
Perguntas implícitas: calcular f'(x)\] para \(x\neq 0 e calcular f'(0) (usar a definição de derivada no ponto 0). Não vou resolver nada ainda, apenas listei o que o exercício pede e quais são os dados.]
Passo 2
Derivação para x\neq 0: primeiro observe que, para x\neq 0, podemos ver f como produto de duas funções:
Logo f'(0)=0. Isso mostra que a derivada existe em 0 e vale 0.
Passo 7
Resumo e observação didática rápida (útil para a prova): a parte para x\neq 0 pede uso combinado de regra do produto e regra da cadeia; para x=0 é obrigatório usar a definição de derivada e o squeeze theorem para lidar com a oscilação \sin(1/h^{4}). Uma observação extra: embora f seja diferenciável em 0, a função f' não é contínua em 0 porque o termo -\dfrac{4}{x^{2}}\cos\!\dfrac{1}{x^{4}} fica arbitrariamente grande quando x\to 0 (ou seja, não há limite finito de f'(x) quando x\to 0) — isso não era pedido, mas é bom saber.