Derive as seguintes funções:
f(x)=(x+1) \cos x
f(x)=(x+1) \cos x
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para obter a derivada de
, isto é, encontrar
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o produto de duas funções: uma parte polinomial
e uma parte trigonométrica . - Não há outras condições (domínio, pontos específicos, etc.), apenas a tarefa de derivar.
Passo 2
Regra que vamos usar: para derivar um produto de duas funções usamos a regra do produto. Se definirmos duas funções
a regra do produto diz
Explicando em palavras: a derivada do produto é a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda. Aqui
significa "derivada de
em relação a
";
significa "derivada de
em relação a
".
Passo 3
Identificamos as duas funções que compõem o produto:
Agora calculamos as derivadas individuais:
- Derivada de
: a derivada de é e a derivada de uma constante é . Logo
- Derivada de
: é uma regra básica de derivadas trigonométricas que
(Interpretação: a taxa de variação instantânea do cosseno é o negativo do seno.)
Passo 4
Aplicando a regra do produto
com os
e
acima, obtemos:
Substituindo
,
,
,
:
Agora fazemos a simplificação algébrica (tirando o sinal negativo para frente):
Passo 5
Interpretação rápida e checagem: a expressão final dá a taxa de variação de
em qualquer ponto
. Como checagem simples, em
temos
o que faz sentido se calcularmos a derivada por definição nesse ponto (teste rápido consistente).