Derive as seguintes funções:
f(x)=(x+1) \cos x

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x)=(x+1)\cos x\, e pede para obter a derivada de f, isto é, encontrar f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o produto de duas funções: uma parte polinomial (x+1) e uma parte trigonométrica \cos x.
  • Não há outras condições (domínio, pontos específicos, etc.), apenas a tarefa de derivar.

Passo 2

Regra que vamos usar: para derivar um produto de duas funções usamos a regra do produto. Se definirmos duas funções
u(x)\quad\text{e}\quad v(x),
a regra do produto diz
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Explicando em palavras: a derivada do produto é a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda. Aqui u'(x) significa "derivada de u em relação a x"; v'(x) significa "derivada de v em relação a x".

Passo 3

Identificamos as duas funções que compõem o produto:
u(x)=x+1,\qquad v(x)=\cos x.
Agora calculamos as derivadas individuais:
  • Derivada de u(x)=x+1: a derivada de x é 1 e a derivada de uma constante é 0. Logo
u'(x)=1.
  • Derivada de v(x)=\cos x: é uma regra básica de derivadas trigonométricas que
v'(x) = -\sin x.
(Interpretação: a taxa de variação instantânea do cosseno é o negativo do seno.)

Passo 4

Aplicando a regra do produto (u v)' = u'v + u v' com os u e v acima, obtemos:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=1, v(x)=\cos x, u(x)=x+1, v'(x)=-\sin x:
f'(x) = 1\cdot\cos x + (x+1)\cdot(-\sin x).
Agora fazemos a simplificação algébrica (tirando o sinal negativo para frente):
f'(x)=\cos x - (x+1)\sin x.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem: a expressão final dá a taxa de variação de f em qualquer ponto x. Como checagem simples, em x=0 temos
f'(0)=\cos 0 - (0+1)\sin 0 = 1-0=1,
o que faz sentido se calcularmos a derivada por definição nesse ponto (teste rápido consistente).

Resposta

\cos x - (x+1)\sin x

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