Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=\ln \left(x^{2}+10\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+10\bigr)
usando a regra da cadeia. Vamos precisar saber a derivada de \ln(u) e a derivada de x^{2}+10.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{2}+10
e a função externa
g(u)=\ln(u).
Assim f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
a) A derivada da interna é
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+10\bigr)=2x.
b) A derivada da externa é
g'(u)=\frac{d}{du}\ln(u)=\frac{1}{u}.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{u(x)}\cdot 2x =\frac{2x}{x^{2}+10}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+10}.

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