Derive as seguintes funções
f(x)=\operatorname{sen}(\ln (x));

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin\bigl(\ln(x)\bigr),
ou seja, é uma função composta da forma \sin(u) com u(x)=\ln(x). Para resolver, vamos usar a regra da cadeia. Lembrando também que o domínio desta função é x>0.

Passo 2

Primeiro, encontramos a derivada de u(x)=\ln(x). Sabemos que
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr]=\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia à função externa \sin(u). A derivada de \sin(u) em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(u(x))\bigr] =\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 4

Substituindo u(x)=\ln(x) e u'(x)=1/x na expressão acima, obtemos
f'(x) =\cos\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot\frac{1}{x} =\frac{\cos\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}.

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