Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{tg}(\sqrt{\operatorname{sen}(x)});

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin\bigl(\tan\bigl(\sqrt{\sin(x)}\bigr)\bigr)
Usaremos a regra da cadeia, identificando cada camada de função composta:
  1. f(u)=\sin(u) com u=\tan(v).
  2. \tan(v) com v=\sqrt{\sin(x)}.
  3. \sqrt{\sin(x)}=(\sin(x))^{1/2}.

Passo 2

Derivada da camada mais externa: se f(u)=\sin(u), então
\frac{df}{du}=\cos(u).
Aqui u=\tan(v), logo
f'(x)=\cos\bigl(\tan(v)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\tan(v)\bigr).

Passo 3

Derivada da próxima camada: se u=\tan(v), então
\frac{du}{dv}=\operatorname{sec}^2(v).
Como v=\sqrt{\sin(x)}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(v)\bigr) =\operatorname{sec}^2\bigl(\sqrt{\sin(x)}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{\sin(x)}\bigr).

Passo 4

Derivada da raiz: v=(\sin(x))^{1/2}. Pela regra de potência e cadeia,
\frac{dv}{dx} =\tfrac12\,(\sin(x))^{-1/2}\cdot\cos(x) =\frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}.

Passo 5

Agora, juntando tudo pela cadeia:
f'(x) =\cos\bigl(\tan(\sqrt{\sin(x)})\bigr) \;\times\;\operatorname{sec}^2\bigl(\sqrt{\sin(x)}\bigr) \;\times\;\frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}.

Resposta

f'(x) =\cos\bigl(\tan(\sqrt{\sin(x)})\bigr)\,\operatorname{sec}^2\bigl(\sqrt{\sin(x)}\bigr)\,\frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}.

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