Derive as seguintes funções:
f(x)=x+3x-1+x+2x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x+3x-1+x+2x+1
O conteúdo aqui é derivar funções racionais aplicando a regra do quociente em cada termo e usar a propriedade de linearidade da derivada (derivar termo a termo).

Passo 2

Derivando o primeiro termo x+3x-1. Seja u=x+3 e v=x-1, então u'=1 e v'=1. Pela regra do quociente:
l(tfracuvr)' = v,u' - u,v'v^2 = (x-1)cdot1 - (x+3)cdot1(x-1)^2 = x-1 - x -3(x-1)^2 = -4(x-1)^2

Passo 3

Derivando o segundo termo x+2x+1. Seja u=x+2 e v=x+1, então u'=1 e v'=1. Pela regra do quociente:
l(tfracuvr)' = (x+1)cdot1 - (x+2)cdot1(x+1)^2 = x+1 - x -2(x+1)^2 = -1(x+1)^2

Passo 4

Somando as duas derivadas e colocando num único quociente:
f'(x) = -4(x-1)^2 - 1(x+1)^2 = -4(x+1)^2 - (x-1)^2(x-1)^2,(x+1)^2 = -5x^2 + 6x + 5(x-1)^2,(x+1)^2

Resposta

f'(x) = -5x^2 + 6x + 5(x-1)^2,(x+1)^2

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