Use o teorema de Stoke para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso C é orientada no sentido anti-horário visto desde cima
F(x, y, z)=x y i+2 z j+3 y k, C é o limite da parte do plano 3 x+2 y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
ointCFcdot dr
onde F(x,y,z)=x,y,i+2z,j+3y,k e C é a fronteira da região do plano
3x+2y+z=1
no primeiro octante, orientada anti-horário vista de cima.
O conteúdo aqui é o Teorema de Stokes, que nos diz que
ointCFcdot dr ;=;integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS,
onde S é a superfície limitada por C e n é o vetor normal adequado.

Passo 2

Precisamos de nablatimesF. Calculando o determinante
nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz x y&2z&3y =il(partialy(3y)-partialz(2z)r) -jl(partialx(3y)-partialz(xy)r) +kl(partialx(2z)-partialy(xy)r)
Isso dá
nablatimesF =i(3-2)-j(0-0)+k(0-x) =i-x,k

Passo 3

Parametrizamos S como gráfico de z=1-3x-2y sobre o domínio
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;3x+2y<=1
Para orientação “vista de cima” escolhemos o vetor área
dS =(-partialx z,,-partialy z,,1),dx,dy =(3,2,1),dx,dy

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes
ointCFcdot dr =integral duplaD(nablatimesF)cdot dS =integral duplaD(1,0,-x)cdot(3,2,1),dx,dy =integral duplaDl(3 - xr),dx,dy
O domínio D em coordenadas é
0<= x<=tfrac13, 0<= y<=tfrac1-3x2

Passo 5

Calculamos
integral duplaD(3-x),dx,dy =integralx=0^1/3integraly=0^(1-3x)/2(3-x),dy,dx =integral0^1/3(3-x),1-3x2,dx
Expandindo e integrando:
12integral0^1/3l(3-10x+3x^2r),dx =12l[3x-5x^2+x^3r]0^1/3 =12cdot1327 =1354

Resposta

1354

Exercícios relacionados