Derive as seguintes funções:
h(u)=3 u-12 u+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ h(u) = \frac{3u - 1}{2u + 1} $ e precisa encontrar a derivada dela, ou seja, $ h’(u) $. Isso faz parte do cálculo, mais especificamente da parte de derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma ferramenta chave para derivar funções que são divisões de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se a gente tem uma função que é o quociente de duas outras funções, digamos $ \frac{f(u)}{g(u)} $, a derivada dessa função é dada por:
f(u)g(u)
Basicamente, a gente deriva o numerador e o denominador separadamente e aplica essa fórmula para encontrar a derivada da função completa.

Passo 3

Agora, vamos identificar quem são $ f(u) $ e $ g(u) $ na nossa função $ h(u) = \frac{3u - 1}{2u + 1} $:
  • $ f(u) = 3u - 1 $
  • $ g(u) = 2u + 1 $

Passo 4

Vamos derivar $ f(u) $ e $ g(u) $:
  • A derivada de $ f(u) $ em relação a $ u $ é:
f(u)
  • A derivada de $ g(u) $ em relação a $ u $ é:
g(u)

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do quociente com esses valores:
h'(u) = f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)[g(u)]^2 = 3 cdot (2u + 1) - (3u - 1) cdot 2(2u + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
3 cdot (2u + 1) = 6u + 3
(3u - 1) cdot 2 = 6u - 2
Então:
h'(u) = 6u + 3 - (6u - 2)(2u + 1)^2 = 6u + 3 - 6u + 2(2u + 1)^2 = 5(2u + 1)^2

Resposta

A derivada da função é:
h'(u) = 5(2u + 1)^2

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