Se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^x+c2e^2x, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada.
phi(x) = 12cos 3x - 3sen 3x

Passo 1

O enunciado diz que a equação homogênea associada é dada por um operador diferencial linear de coeficientes constantes cuja solução geral é yh = c1 e^x + c2 e^2x. O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar para termos forçados do tipo trigonométrico.

Passo 2

Para encontrar uma solução particular de L(y)=phi(x) com phi(x)=tfrac12cos3x-3sin3x, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como phi(x) é combinação de cos3x e sin3x, vamos propor uma solução particular do mesmo tipo.
Verificamos se há ressonância: as raízes do polinômio característico são r=1,2, e pm3i não coincidem com elas. Logo, não precisamos multiplicar por x na ansatz.

Passo 3

Concluímos que a forma apropriada para a solução particular é propor
yp(x)=Acos3x+Bsin3x onde A e B são constantes a determinar posteriormente.

Resposta

yp(x)=Acos3x+Bsin3x

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