Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que f(z) é diferenciável:
e) f(z)=\frac{1}{(z-i) \cdot z \cdot\left(z^{2}+i\right)}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(z)=\frac{1}{(z-i)\,z\,\bigl(z^{2}+i\bigr)}:
  • calcular a derivada f'(z);
  • indicar os pontos em que f(z) é diferenciável (onde a derivada existe).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é 1.
  • O denominador é o produto de três fatores: (z-i), z e \bigl(z^{2}+i\bigr).
  • Não há outras informações adicionais; devemos usar as regras usuais de diferenciação complexa (produtos, cadeia, quociente).

Passo 2

Ideia geral e regra que vou usar (explicação didática e curta):
  • Se g(z) é uma função holomorfa (diferenciável) num ponto e g(z)\neq0 nesse ponto, então a função f(z)=\dfrac{1}{g(z)} é diferenciável aí e vale a regra do quociente para 1/g:
f'(z) = -\frac{g'(z)}{g(z)^{2}}.
Explicando devagar: pensar em f(z)= (g(z))^{-1}. Pela regra da derivada de uma potência (u^{-1})' = -u'/u^{2} (mesma ideia do real), aplica-se ao caso complexo sem diferença. Então o plano é definir
g(z)=(z-i)\,z\,(z^{2}+i),
calcular g'(z) com a regra do produto e depois usar f'(z)=-g'(z)/g(z)^2.
Observação prática (atalho útil): para produto de fatores lineares pode-se usar o “log-derivada”
\frac{g'(z)}{g(z)}=\frac{1}{z-i}+\frac{1}{z}+\frac{2z}{z^{2}+i},
mas vou também mostrar g'(z) expandido passo a passo para ficar bem claro.

Passo 3

Cálculo de g'(z) pelo produto (passo a passo):
Defina
g(z)=(z-i)\,z\,(z^{2}+i).
Aplicando a regra do produto para três fatores: a derivada é a soma das derivadas de cada fator multiplicadas pelos demais fatores “fixos”. Ou seja,
g'(z)=\frac{d}{dz}(z-i)\cdot z\cdot(z^{2}+i)+(z-i)\cdot\frac{d}{dz}z\cdot(z^{2}+i)+(z-i)\cdot z\cdot\frac{d}{dz}(z^{2}+i).
Agora calcule cada derivada simples:
  • \dfrac{d}{dz}(z-i)=1.
  • \dfrac{d}{dz}z=1.
  • \dfrac{d}{dz}(z^{2}+i)=2z.
Substituindo:
g'(z)=1\cdot z\cdot(z^{2}+i)+(z-i)\cdot1\cdot(z^{2}+i)+(z-i)\cdot z\cdot 2z.
Agora expanda cada termo para simplificar (faça devagar para não se perder):
  • Primeiro termo: z(z^{2}+i)=z^{3}+i z.
  • Segundo termo: (z-i)(z^{2}+i)=z^{3}+i z - i z^{2} - i^{2}=z^{3}+i z - i z^{2}+1 porque i^{2}=-1.
  • Terceiro termo: 2z\cdot(z-i)\cdot z=2z^{2}(z-i)=2z^{3}-2i z^{2}.
Some os três resultados:
\begin{aligned} g'(z) &= \bigl(z^{3}+i z\bigr) + \bigl(z^{3}+i z - i z^{2}+1\bigr) + \bigl(2z^{3}-2i z^{2}\bigr)\\[4pt] &= (z^{3}+z^{3}+2z^{3}) + (-i z^{2}-2i z^{2}) + (i z + i z) + 1\\[4pt] &= 4z^{3} -3i z^{2} + 2i z + 1. \end{aligned}
Portanto
g'(z)=4z^{3}-3i z^{2}+2i z+1.]

Passo 4

Aplicar a fórmula f'(z)=-\dfrac{g'(z)}{g(z)^{2}} e escrever de forma clara:
f'(z) = -\frac{4z^{3}-3i z^{2}+2i z+1}{\bigl((z-i)\,z\,(z^{2}+i)\bigr)^{2}}.
Essa é uma forma compacta e correta. Para tornar a expressão mais “parcialmente fatorada” (às vezes útil em provas), também se pode escrever usando a log-derivada encontrada antes:
\frac{g'(z)}{g(z)}=\frac{1}{z-i}+\frac{1}{z}+\frac{2z}{z^{2}+i},
logo
f'(z) = -\Bigl(\frac{1}{z-i}+\frac{1}{z}+\frac{2z}{z^{2}+i}\Bigr)\cdot\frac{1}{(z-i)\,z\,(z^{2}+i)}.
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é o numerador já expandido sobre g(z)^2, a segunda mostra a decomposição em frações simples.

Passo 5

Determinar os pontos de diferenciabilidade (explicando devagar):
  • A função f(z)=1/g(z) será diferenciável em todos os pontos onde g(z) for diferenciável e g(z)\neq0.
  • g(z) é um polinômio (produto de polinômios) e, portanto, é diferenciável em todo \mathbb{C}.
  • Logo as únicas obstruções são os zeros de g(z), ou seja as raízes do denominador (z-i)\,z\,(z^{2}+i)=0.
Encontre as raízes explicitamente:
  • De (z-i)=0 obtemos z=i.
  • De z=0 obtemos z=0.
  • De z^{2}+i=0 obtemos z^{2}=-i. Vamos resolver:
    escrevendo -i em forma cartesiana, resolvemos x^{2}-y^{2}=0 e 2xy=-1 para z=x+iy, mas é mais simples usar a forma exponencial: -i=e^{-i\pi/2}. As raízes quadradas são \pm e^{-i\pi/4}. Em forma cartesiana essas raízes valem z=\pm\frac{1-i}{\sqrt{2}}.(se preferir verificar: \bigl(\tfrac{1-i}{\sqrt{2}}\bigr)^{2}=e^{-i\pi/2}=-i.)
Portanto as quatro raízes do denominador são
z=0,\qquad z=i,\qquad z=\frac{1-i}{\sqrt{2}},\qquad z=-\frac{1-i}{\sqrt{2}}.
Em cada um desses pontos g(z)=0 e f tem singularidade (na verdade pólos simples, pois todos os fatores são lineares e distintos).
Conclusão sobre diferenciabilidade: f é diferenciável em todo o plano complexo exceto nesses quatro pontos. Em notação:
f \text{ é diferenciável em } \mathbb{C}\setminus\Bigl\{0,\;i,\;\pm\frac{1-i}{\sqrt{2}}\Bigr\}.éá

Resposta

f'(z)=-\frac{4z^{3}-3i z^{2}+2i z+1}{\bigl((z-i)\,z\,(z^{2}+i)\bigr)^{2}}
\text{A função }f\text{ é diferenciável para todos }z\in\mathbb{C}\setminus\Bigl\{0,\;i,\;\pm\frac{1-i}{\sqrt{2}}\Bigr\}.çãéá

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