Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que
é diferenciável:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
- calcular a derivada
; - indicar os pontos em que
é diferenciável (onde a derivada existe).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é o produto de três fatores:
, e . - Não há outras informações adicionais; devemos usar as regras usuais de diferenciação complexa (produtos, cadeia, quociente).
Passo 2
Ideia geral e regra que vou usar (explicação didática e curta):
- Se
é uma função holomorfa (diferenciável) num ponto e nesse ponto, então a função é diferenciável aí e vale a regra do quociente para :
Explicando devagar: pensar em
. Pela regra da derivada de uma potência
(mesma ideia do real), aplica-se ao caso complexo sem diferença. Então o plano é definir
calcular
com a regra do produto e depois usar
.
Observação prática (atalho útil): para produto de fatores lineares pode-se usar o “log-derivada”
mas vou também mostrar
expandido passo a passo para ficar bem claro.
Passo 3
Cálculo de
pelo produto (passo a passo):
Defina
Defina
Aplicando a regra do produto para três fatores: a derivada é a soma das derivadas de cada fator multiplicadas pelos demais fatores “fixos”. Ou seja,
Agora calcule cada derivada simples:
-
. -
. -
.
Substituindo:
Agora expanda cada termo para simplificar (faça devagar para não se perder):
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
porque . - Terceiro termo:
.
Some os três resultados:
Portanto
Passo 4
Aplicar a fórmula
e escrever de forma clara:
Essa é uma forma compacta e correta. Para tornar a expressão mais “parcialmente fatorada” (às vezes útil em provas), também se pode escrever usando a log-derivada encontrada antes:
logo
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é o numerador já expandido sobre
, a segunda mostra a decomposição em frações simples.
Passo 5
Determinar os pontos de diferenciabilidade (explicando devagar):
- A função
será diferenciável em todos os pontos onde for diferenciável e . -
é um polinômio (produto de polinômios) e, portanto, é diferenciável em todo . - Logo as únicas obstruções são os zeros de
, ou seja as raízes do denominador .
Encontre as raízes explicitamente:
- De
obtemos . - De
obtemos . - De
obtemos . Vamos resolver:
escrevendoem forma cartesiana, resolvemos e para , mas é mais simples usar a forma exponencial: . As raízes quadradas são . Em forma cartesiana essas raízes valem (se preferir verificar: .)
Portanto as quatro raízes do denominador são
Em cada um desses pontos
e
tem singularidade (na verdade pólos simples, pois todos os fatores são lineares e distintos).
Conclusão sobre diferenciabilidade:
é diferenciável em todo o plano complexo exceto nesses quatro pontos. Em notação: