Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que
é diferenciável:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
As perguntas são:
- Calcular a derivada
. - Indicar os pontos em que
é diferenciável (ou seja, onde a derivada existe).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é escrita em termos de
e de . - Há pontos que tornam expressões como
ou o denominador nulo; esses pontos são relevantes para a definição e diferenciabilidade da função.
Passo 2
Conceitos e regras que vou usar (explicados de maneira prática):
- Uma função complexa é diferenciável num ponto se o limite definido pela derivada complexa existe; na prática, funções formadas por somas, produtos, quocientes (onde o denominador não é zero) e composições de funções holomorfas são holomorfas nesses pontos. Assim, polinômios são holomorfos em toda a reta complexa, e a função
é holomorfa em . - Regras de diferenciação que usarei:
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia: se
então . - Para potências:
.
- Regra do produto: se
- Para saber onde a função é diferenciável, preciso primeiro identificar onde ela está bem definida (domínio). Onde a função não está definida, certamente não é diferenciável.
Passo 3
Simplificar a expressão de
para trabalhar com uma forma racional mais direta.
Começo por escrever
com denominador comum:
Então
Portanto
Observação sobre domínio: para fazer essas manipulações foi preciso que
(pois apareceu
) e também
para que o denominador final não seja zero. A equação
tem soluções
. Logo a função só está definida (com esta expressão) quando
Passo 4
Agora calculo a derivada a partir da forma simplificada
Vou aplicar a regra do produto escrevendo
com
Calculo as derivadas parciais:
Para
uso a regra da cadeia: se
com
, então
. Como
, obtemos
Agora aplico a regra do produto:
Passo 5
Simplificar a expressão obtida para
.
Parto de
Coloco em fator comum
:
Calculo o parêntese:
Logo
Posso escrever de forma levemente mais factorizada:
Ou ainda, expandindo o numerador:
Essa expressão é algebraicamente equivalente às formas anteriores e é válida sempre que a função original estiver definida (ou seja, para
).
Passo 6
Concluir sobre diferenciabilidade: como
foi obtida por operações (soma, inversão, potência) de funções holomorfas em seus domínios e a expressão final é um quociente de polinômios,
é diferenciável em todo ponto onde está definida. Pelos passos acima, os pontos excluídos são
(onde aparece
) e
(onde o denominador é zero). Portanto
é diferenciável exatamente em