Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que f(z) é diferenciável:
f) f(z)=\frac{1}{\left(z+\frac{1}{z}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(z)=\frac{1}{\left(z+\frac{1}{z}\right)^{2}}.
As perguntas são:
  • Calcular a derivada f'(z).
  • Indicar os pontos em que f(z) é diferenciável (ou seja, onde a derivada existe).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é escrita em termos de z e de \dfrac{1}{z}.
  • Há pontos que tornam expressões como \dfrac{1}{z} ou o denominador nulo; esses pontos são relevantes para a definição e diferenciabilidade da função.

Passo 2

Conceitos e regras que vou usar (explicados de maneira prática):
  • Uma função complexa é diferenciável num ponto se o limite definido pela derivada complexa existe; na prática, funções formadas por somas, produtos, quocientes (onde o denominador não é zero) e composições de funções holomorfas são holomorfas nesses pontos. Assim, polinômios são holomorfos em toda a reta complexa, e a função z\mapsto 1/z é holomorfa em \mathbb{C}\setminus\{0\}.
  • Regras de diferenciação que usarei:
    • Regra do produto: se h(z)=u(z)v(z) então h'(z)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).
    • Regra da cadeia: se h(z)=\varphi(\psi(z)) então h'(z)=\varphi'(\psi(z))\cdot\psi'(z).
    • Para potências: \dfrac{d}{dz}\big(\psi(z)^{n}\big)=n\,\psi(z)^{\,n-1}\cdot\psi'(z).
  • Para saber onde a função é diferenciável, preciso primeiro identificar onde ela está bem definida (domínio). Onde a função não está definida, certamente não é diferenciável.

Passo 3

Simplificar a expressão de f(z) para trabalhar com uma forma racional mais direta.
Começo por escrever z+\dfrac{1}{z} com denominador comum:
z+\frac{1}{z}=\frac{z^2+1}{z}.
Então
\left(z+\frac{1}{z}\right)^{2}=\left(\frac{z^2+1}{z}\right)^{2}=\frac{(z^2+1)^2}{z^2}.
Portanto
f(z)=\frac{1}{\left(z+\frac{1}{z}\right)^{2}}=\frac{1}{\frac{(z^2+1)^2}{z^2}}=\frac{z^2}{(z^2+1)^2}.
Observação sobre domínio: para fazer essas manipulações foi preciso que z\neq 0 (pois apareceu 1/z) e também z^2+1\neq 0 para que o denominador final não seja zero. A equação z^2+1=0 tem soluções z=\pm i. Logo a função só está definida (com esta expressão) quando
z\in\mathbb{C}\setminus\{0,i,-i\}.

Passo 4

Agora calculo a derivada a partir da forma simplificada
f(z)=\frac{z^2}{(z^2+1)^2}.
Vou aplicar a regra do produto escrevendo f(z)=u(z)\,v(z) com
u(z)=z^2,\qquad v(z)=(z^2+1)^{-2}.
Calculo as derivadas parciais:
u'(z)=2z.
Para v uso a regra da cadeia: se v(w) = w^{-2} com w=z^2+1, então v'(z)=(-2)w^{-3}\cdot w'(z). Como w'(z)=2z, obtemos
v'(z)=-2\,(z^2+1)^{-3}\cdot 2z = -4z\,(z^2+1)^{-3}.
Agora aplico a regra do produto:
f'(z)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z)=2z\,(z^2+1)^{-2}+z^2\cdot\big(-4z\,(z^2+1)^{-3}\big).

Passo 5

Simplificar a expressão obtida para f'(z).
Parto de
f'(z)=2z\,(z^2+1)^{-2}-4z^3\,(z^2+1)^{-3}.
Coloco em fator comum 2z\,(z^2+1)^{-3}:
f'(z)=2z\,(z^2+1)^{-3}\big((z^2+1)-2z^2\big).
Calculo o parêntese:
(z^2+1)-2z^2 = 1 - z^2.
Logo
f'(z)=2z\,(z^2+1)^{-3}(1-z^2).
Posso escrever de forma levemente mais factorizada:
f'(z)=-2z\,(z^2-1)(z^2+1)^{-3}.
Ou ainda, expandindo o numerador:
f'(z)=\frac{-2z\,(z^2-1)}{(z^2+1)^3}.
Essa expressão é algebraicamente equivalente às formas anteriores e é válida sempre que a função original estiver definida (ou seja, para z\neq 0,\pm i).

Passo 6

Concluir sobre diferenciabilidade: como f foi obtida por operações (soma, inversão, potência) de funções holomorfas em seus domínios e a expressão final é um quociente de polinômios, f é diferenciável em todo ponto onde está definida. Pelos passos acima, os pontos excluídos são z=0 (onde aparece 1/z) e z=\pm i (onde o denominador é zero). Portanto f é diferenciável exatamente em
\mathbb{C}\setminus\{0,i,-i\}.

Resposta

f'(z)=\frac{-2z\,(z^2-1)}{(z^2+1)^3}.
f\\ \text{é diferenciável em }\\ \mathbb{C}\setminus\{0,i,-i\}.éá

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