Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas, verifique que as seguintes funções não são analíticas em nenhum ponto:
d) f(z)=z^{2} \cdot \bar{z}

Passo 1

O enunciado pede que se usem as Equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas para verificar que a função f não é analítica em nenhum ponto. A função dada é
f(z)=z^{2}\cdot\bar{z}.
Informações relevantes que temos desde já:
  • Podemos escrever z=x+iy e \bar{z}=x-iy, com x,y\in\mathbb{R}.
  • Para checar analiticidade (holomorfia) usamos as Equações de Cauchy–Riemann para as partes real u(x,y) e imaginária v(x,y) de f.
  • As derivadas parciais envolvidas serão contínuas (porque f é polinomial em x,y), então as condições de Cauchy–Riemann são necessárias e suficientes para a diferenciabilidade complexa num ponto; para ser analítica num ponto é preciso ser diferenciável num intervalo (vizinhança) desse ponto.

Passo 2

Primeiro escrevemos f em termos de x e y. Substituindo \;z=x+iy\; e \;\bar{z}=x-iy\; obtemos
f(z)=(x+iy)^{2}(x-iy).
Uma maneira mais simples é notar que z^{2}\bar{z}=z\cdot (z\bar{z})=z\cdot|z|^{2}. Assim
f(z)= (x+iy)(x^{2}+y^{2}).
Separando parte real e imaginária:
u(x,y)=x(x^{2}+y^{2})=x^{3}+x y^{2}, \qquad v(x,y)=y(x^{2}+y^{2})=x^{2}y+y^{3}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias (faça as contas devagar na prova, aqui eu explico cada termo):
Derivando u:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+x y^{2})=3x^{2}+y^{2}, \qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}+x y^{2})=2xy.
Derivando v:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y+y^{3})=2xy, \qquad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y+y^{3})=x^{2}+3y^{2}.
Expliquei: ao derivar x^{3} por x 3x^{2}; ao derivar x y^{2} por x trata-se de produto com y^{2} visto como constante, etc.

Passo 4

As Equações de Cauchy–Riemann (em coordenadas cartesianas) exigem:
u_x=v_y \qquad\text{e}\qquad u_y=-v_x.
Substituindo as derivadas obtidas:
Primeira equação:
3x^{2}+y^{2}=x^{2}+3y^{2}.
Reorganizando:
3x^{2}+y^{2}-x^{2}-3y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-2y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-y^{2}=0.
Segunda equação:
2xy = -\,2xy \quad\Rightarrow\quad 4xy=0 \quad\Rightarrow\quad xy=0.

Passo 5

Temos então o sistema de condições necessárias para Cauchy–Riemann:
x^{2}-y^{2}=0 \qquad\text{e}\qquad xy=0.
Resolva o sistema: x^{2}-y^{2}=0 y=\pm x. Mas xy=0 exige que x=0 ou y=0. Se x=0 então da primeira equação segue y=0. Se y=0 então da primeira segue x=0. Logo a única solução comum é x=0 e y=0, ou seja o ponto (0,0) (o ponto z=0) é o único ponto onde as equações de Cauchy–Riemann se satisfazem.

Passo 6

Interpretação final importante para a prova: as derivadas parciais de u e v são contínuas (são polinômios), portanto as equações de Cauchy–Riemann são condição necessária e suficiente para a diferenciabilidade complexa em cada ponto. Encontramos que as equações só se satisfazem no ponto isolado z=0. Para que f seja analítica (holomorfa) em algum ponto é preciso que ela seja diferenciável em uma vizinhança desse ponto, ou seja, as equações de Cauchy–Riemann devem valer numa região aberta ao redor do ponto. Aqui elas não valem em nenhuma vizinhança de nenhum ponto — valem apenas no ponto isolado z=0. Portanto f não é analítica (não é holomorfa) em nenhum ponto do plano complexo.

Resposta

A função f(z)=z^{2}\bar{z} não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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