Derive as seguintes funções:
[(x+1)^2+2]^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente usando a Regra da Cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar identificar as partes internas e externas da função para aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa expressão. Temos uma função composta onde:
  • A função externa é , onde .
  • A função interna é .
Entender isso é crucial porque a Regra da Cadeia nos permite derivar a função externa em relação a e depois multiplicar pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia diz que a derivada de uma função composta ddxf(g(x)) = f'(g(x)) cdot g'(x) é:
ddx[(x+1)^2+2]^3 = 3[(x+1)^2+2]^2 cdot ddx[(x+1)^2+2]
Aplicando isso à nossa função:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função interna ddx[(x+1)^2] = 2(x+1) cdot ddx(x+1) = 2(x+1) cdot 1 = 2(x+1) . Vamos derivar termo a termo:
ddx[(x+1)^2 + 2] = 2(x+1)
E a derivada de 2 é 0. Então, a derivada total da função interna é:

Passo 5

Agora, substituímos a derivada da função interna na expressão que obtivemos no Passo 3:
ddx[(x+1)^2+2]^3 = 3[(x+1)^2+2]^2 cdot 2(x+1)
Podemos simplificar isso multiplicando os coeficientes:
3 cdot 2 = 6
Então, a derivada fica:
6(x+1)[(x+1)^2+2]^2

Resposta

A derivada da função f'(x) = 6(x+1)[(x+1)^2+2]^2 é:

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