Derive as seguintes funções:
sec (sen^2 2 x+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções compostas e trigonométricas. Para resolver, vamos usar a Regra da Cadeia, que é fundamental quando temos funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a nossa função principal. Temos:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
Precisamos derivar a função externa em relação a e depois multiplicar pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos derivar a função externa ddu sec(u) = sec(u) tan(u) em relação a . Sabemos que a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna ddx sin^2 2x = 2 sin(2x) cdot ddx sin(2x) em relação a ddx sin^2 2x = 2 sin(2x) cdot 2 cos(2x) = 4 sin(2x) cos(2x) . Ignoramos a constante porque a derivada dela é zero. Focamos em .
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia para :
A derivada de é , então:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes usando a Regra da Cadeia. A derivada total da função original em relação a ddx sec (sin^2 2x + 1) = sec(u) tan(u) cdot dudx é:
ddx sec (sin^2 2x + 1) = sec(sin^2 2x + 1) tan(sin^2 2x + 1) cdot 4 sin(2x) cos(2x)
Substituindo e , temos:

Resposta

A derivada de 4 sin(2x) cos(2x) cdot sec(sin^2 2x + 1) tan(sin^2 2x + 1) em relação a é:

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