Derive as seguintes funções:
log a(e^x+e^2 x), a>0, a neq 1

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=logal(e^x+e^2xr), onde a>0 e aneq1. Vamos usar teoria de logaritmos (mudança de base) e a regra da cadeia para derivar exponenciais.

Passo 2

Usamos a mudança de base do logaritmo: dada u=e^x+e^2x, temos
loga u = ln uln a
Logo
f(x)=1ln a,lnl(e^x+e^2xr)

Passo 3

Aplicamos agora a derivada de ln(u) pela regra da cadeia. Seja u=e^x+e^2x. Então
u'=ddx(e^x+e^2x)=e^x+2e^2x
e
ddxl[ln(u)r]=u'u=e^x+2e^2xe^x+e^2x

Passo 4

Multiplicando pelo fator 1/ln a que ficou fora, obtemos
f'(x)=1ln acdote^x+2e^2xe^x+e^2x= race^x+2e^2x(e^x+e^2x),ln a

Resposta

f'(x)=e^x+2e^2x(e^x+e^2x),ln a

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