Derive as seguintes funções:
2 sen^3 x cos ^2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=2 sen³x cos²x; o conteúdo é derivada de produto de funções e aplicação da regra da cadeia, vamos usar estas ferramentas para chegar ao resultado.

Passo 2

Como a função tem um fator constante 2, podemos escrevê-la como f(x)=2·[sen³x·cos²x] e depois puxar 2 para fora da derivada: f’(x)=2·d/dx[sen³x·cos²x]. Definimos u(x)=sen³x e v(x)=cos²x.

Passo 3

Para achar u’(x), aplicamos a regra da cadeia: derivada de h(x)³ é 3·h(x)²·h’(x), com h(x)=sen x e h’(x)=cos x. Assim, u’(x)=3 sen²x·cos x. Para v’(x), mesma ideia: derivada de cos²x é 2 cos x·(−sen x), logo v’(x)=−2 sen x·cos x.

Passo 4

Agora usamos a regra do produto: d/dx[u·v] = u’·v + u·v’. Logo, d/dx[sen³x·cos²x]=3 sen²x·cos x·cos²x + sen³x·(−2 sen x·cos x).

Passo 5

Por fim, multiplicamos por 2 e simplificamos: f’(x)=2·[3 sen²x·cos³x − 2 sen⁴x·cos x] = 6 sen²x·cos³x − 4 sen⁴x·cos x. Podemos também fatorar se quisermos, mas essa forma é a mais direta.

Resposta

6 sen²x·cos³x − 4 sen⁴x·cos x

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