Questão 7. Qual das funções abaixo não é contínua no ponto
?
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte questão: Qual das funções abaixo não é contínua no ponto $ x_{0} = 2 $?
A função que estamos analisando é:
Vamos usar conceitos de continuidade para verificar se essa função é contínua em $ x_{0} = 2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para a função $ f(x) $ ser contínua em $ x = a $, três condições precisam ser atendidas:
- $ f(a) $ está definida: Ou seja, a função tem um valor definido em $ x = a $.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe: Isso inclui os limites laterais, ou seja, quando $ x $ se aproxima de $ a $ pela esquerda e pela direita.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $: O valor que a função se aproxima deve ser exatamente o valor da função no ponto.
Vamos aplicar isso para $ x_{0} = 2 $.
Passo 3
1. Verificando se $ f(2) $ está definida:
Para $ x \geq 2 $, a função é $ f(x) = x^{2} $.
Então,
Portanto, $ f(2) $ está definida e vale 4.
Passo 4
2. Calculando o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^{-} $):
Para $ x < 2 $, a função é $ f(x) = 2^{x} $.
Então,
Passo 5
3. Calculando o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita ($ x \to 2^{+} $):
Para $ x \geq 2 $, a função é $ f(x) = x^{2} $.
Então,
Passo 6
4. Verificando se os limites laterais são iguais e iguais a $ f(2) $:
Vimos que:
Além disso, $ f(2) = 4 $.
Como os dois limites laterais são iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto ($ f(2) $), todas as condições para a continuidade estão satisfeitas.
Resposta
A função $ f(x) $ é contínua no ponto $ x_{0} = 2 $.