Derive as seguintes funções:
m(t)=Cos(t^2) Sen(t)e^t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de m(t)=Cos(t^2)Sen(t)e^t. O conteúdo que vamos usar envolve a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos u(t)=Cos(t^2)Sen(t) e v(t)=e^t. Pela regra do quociente, temos m'(t)=u'(t)v(t)-u(t)v'(t)[v(t)]^2

Passo 3

Para achar u'(t), usamos a regra do produto em u(t)=u1(t)u2(t) com u1(t)=Cos(t^2) e u2(t)=Sen(t). Temos
u1'(t)=-Sen(t^2)cdot(2t)=-2tSen(t^2),
u2'(t)=Cos(t)

Passo 4

Logo,
u'(t)=u1'(t)u2(t)+u1(t)u2'(t)=-2tSen(t^2)Sen(t)+Cos(t^2)Cos(t)

Passo 5

A derivada de v(t)=e^t é v'(t)=e^t.

Passo 6

Substituindo na regra do quociente,
m'(t)=l[-2tSen(t^2)Sen(t)+Cos(t^2)Cos(t)r]e^t - Cos(t^2)Sen(t)e^t(e^t)^2

Passo 7

Fatorando e^t no numerador e simplificando com o denomidador e^2t, obtemos
m'(t)=e^-tl(-2tSen(t^2)Sen(t)+Cos(t^2)Cos(t)-Cos(t^2)Sen(t)r)

Resposta

m'(t)=e^-tl(-2tSen(t^2)Sen(t)+Cos(t^2)Cos(t)-Cos(t^2)Sen(t)r).

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