Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f^-1 em P:
f(x)=x^3+4 x-1, P(15,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função inversa de $ f $ no ponto $ P(15, 2) $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas e funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função inversa e aplicar isso ao ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se $ P(15, 2) $ está no gráfico de $ f^{-1} $, isso significa que $ f(2) = 15 $. Ou seja, quando $ x = 2 $, $ f(x) = 15 $. Nosso objetivo é encontrar a inclinação da reta tangente à curva de $ f^{-1} $ nesse ponto.

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma função inversa em um ponto é o inverso da derivada da função original no ponto correspondente. Matematicamente, isso é expresso como:
(f^-1)'(y) = 1f'(x)
onde $ y = f(x) $. No nosso caso, $ y = 15 $ e $ x = 2 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ f $. Dada $ f(x) = x^3 + 4x - 1 $, a derivada $ f’(x) $ é:
f
Substituindo $ x = 2 $:
f(x) = x^3 + 4x - 1

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da derivada da função inversa:
(f^-1)'(15) = 1f'(2) = 116

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $ f^{-1} $ em $ P(15, 2) $ é $ \frac{1}{16} $.

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