Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
(f) ; f(x)=(x+1)^x^2+1

Passo 1

A função dada é f(x) = (x+1)^x^2+1. Vamos usar derivação de funções na forma a(x)^b(x), que é feita reescrevendo em termos de exponencial e logaritmo e aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como exponencial:
f(x) = e^lnl((x+1)^x^2+1r) = e^(x^2+1)ln(x+1)

Passo 3

Chamando o expoente de g(x) = (x^2+1)ln(x+1), pela regra da derivada de e^g(x) temos
f'(x) = e^g(x) cdot g'(x) = f(x) cdot g'(x)

Passo 4

Agora derivamos g(x) usando regra do produto e cadeia:
g(x) = (x^2+1)ln(x+1),
então
g'(x) = 2xln(x+1) + (x^2+1) cdot 1x+1

Passo 5

Substituindo g'(x) em f'(x) = f(x),g'(x) e voltando a forma original de f(x), obtemos
f'(x) = (x+1)^x^2+1 (2xln(x+1) + x^2+1x+1)

Resposta

f'(x) = (x+1)^x^2+1 l(2xln(x+1) + x^2+1x+1r)

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