Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
(a) ; f(x)=x^x

Passo 1

O exercício pede para encontrar a derivada de f(x)=x^x. O conteúdo principal aqui é diferenciação de funções do tipo variável na base e no expoente, o que a gente resolve via diferenciação logarítmica, combinando regra da cadeia e derivação implícita.

Passo 2

Definimos y = x^x e tomamos o logaritmo natural em ambos os lados, pois isso transforma a potência em produto, facilitando a derivação:
ln y = lnl(x^xr) = x ln x

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo usamos regra da cadeia e no direito a regra do produto:
y'y = ddx(x ln x) = 1cdot ln x + xcdot 1x = ln x + 1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por y e lembrando que y = x^x, chegamos em:
y' = y,(ln x + 1) = x^x(ln x + 1)

Resposta

f’(x) = x^{x},(\ln x + 1)

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