Determine o valor da integral tripla
integral triplaT^T y^2 d V
onde T é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0) e (0,0,2).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral tripla , onde é um tetraedro com vértices em , , e . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especialmente configurar os limites de integração para uma região tridimensional como esse tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro. Ele está no primeiro octante (todos os , , são positivos) e é formado pelas interseções dos planos , , e o plano que passa pelos pontos , e . Precisamos encontrar a equação desse plano.

Passo 3

Para achar a equação do plano, usamos a forma geral . Sabendo que o plano passa por , e , substituímos esses pontos na equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Isso implica que . Podemos escolher para simplificar, então . Assim, a equação do plano é .

Passo 4

Agora, vamos configurar os limites de integração. Para isso, expressamos em termos de e a partir da equação do plano: .
Os limites serão:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada e , varia de a .

Passo 5

Agora que temos os limites, configuramos a integral tripla:
integral triplaT y^2 , dV = integral0^2 integral0^2 - x integral0^2 - x - y y^2 , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^2 - x - y y^2 , dz = y^2 cdot z g|0^2 - x - y = y^2 (2 - x - y) :
integral0^2 integral0^2 - x y^2 (2 - x - y) , dy , dx
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
y^2 (2 - x - y) = 2y^2 - xy^2 - y^3
Assim, a integral se torna:
integral0^2 [ integral0^2 - x (2y^2 - xy^2 - y^3) , dy ] dx

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral (2y^2 - xy^2 - y^3) , dy = 23y^3 - x3y^3 - 14y^4 + C :
( 23(2 - x)^3 - x3(2 - x)^3 - 14(2 - x)^4 ) - 0
Avaliado de 2 - x3(2 - x)^3 - 14(2 - x)^4 = (2 - x)^43 - (2 - x)^44 = ( 13 - 14 ) (2 - x)^4 = 112(2 - x)^4 a :
Simplificando:

Passo 9

Agora, a integral se reduz a:
integral0^2 112(2 - x)^4 , dx = 112 integral0^2 (2 - x)^4 , dx
Fazendo a substituição 112 integral2^0 u^4 (-du) = 112 integral0^2 u^4 , du = 112 ( u^55 ) g|0^2 = 112 cdot 325 = 3260 = 815 , , quando , ; quando , . A integral fica:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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