Beleza! Vamos resolver a integral tripla , onde é um tetraedro com vértices em , , e . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especialmente configurar os limites de integração para uma região tridimensional como esse tetraedro.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro. Ele está no primeiro octante (todos os , , são positivos) e é formado pelas interseções dos planos , , e o plano que passa pelos pontos , e . Precisamos encontrar a equação desse plano.
Passo 3
Para achar a equação do plano, usamos a forma geral . Sabendo que o plano passa por , e , substituímos esses pontos na equação:
Para :
Para :
Para :
Isso implica que . Podemos escolher para simplificar, então . Assim, a equação do plano é .
Passo 4
Agora, vamos configurar os limites de integração. Para isso, expressamos em termos de e a partir da equação do plano: .
Os limites serão:
varia de a .
Para cada , varia de a .
Para cada e , varia de a .
Passo 5
Agora que temos os limites, configuramos a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
y^2 (2 - x - y) = 2y^2 - xy^2 - y^3
Assim, a integral se torna:
integral0^2 [ integral0^2 - x (2y^2 - xy^2 - y^3) , dy ] dx
Passo 8
Agora, integramos em relação a integral (2y^2 - xy^2 - y^3) , dy = 23y^3 - x3y^3 - 14y^4 + C :