3- (Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos) Dada a função
b) determine os intervalos de crescimento;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de determinar os intervalos de crescimento da função
. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente estudando a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em cada ponto, ou seja, se a função está subindo ou descendo.
A função dada é:
Calculando a derivada
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar onde a função está crescendo, ou seja, onde
.
Vamos resolver a inequação:
Primeiro, encontramos as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
As raízes são:
Então, as raízes da derivada são
,
, e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para ver onde
.
Os intervalos são:
Vamos testar pontos em cada intervalo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
.