3- (Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos) Dada a função
f(x)=x^4+x^33-4 x^2
b) determine os intervalos de crescimento;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de determinar os intervalos de crescimento da função . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente estudando a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = x^4 + x^33 - 4x^2 . A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em cada ponto, ou seja, se a função está subindo ou descendo.
A função dada é:
f'(x) = ddx(x^4) + ddx(x^33) - ddx(4x^2)
Calculando a derivada f'(x) = 4x^3 + x^2 - 8x :

Passo 3

Agora, queremos encontrar onde a função está crescendo, ou seja, onde 4x^3 + x^2 - 8x > 0 .
Vamos resolver a inequação:
x(4x^2 + x - 8) > 0
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Primeiro, encontramos as raízes da equação De usando a fórmula de Bhaskara:
x = -1 pm raiz1298
onde x approx -1 + 11.35788 approx 1.2947 , x approx -1 - 11.35788 approx -1.5447 , e .
Calculando o discriminante:
As raízes são:
Então, as raízes da derivada são , , e .

Passo 4

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para ver onde f'(-2) = 4(-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) = -32 + 4 + 16 = -12 < 0 .
Os intervalos são:
  1. f'(-1) = 4(-1)^3 + (-1)^2 - 8(-1) = -4 + 1 + 8 = 5 > 0
  2. f'(1) = 4(1)^3 + (1)^2 - 8(1) = 4 + 1 - 8 = -3 < 0
  3. f'(2) = 4(2)^3 + (2)^2 - 8(2) = 32 + 4 - 16 = 20 > 0
Vamos testar pontos em cada intervalo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e .

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