Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{\sqrt{x}}, ou seja, uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Vamos usar diferenciação logarítmica, uma técnica útil quando temos expoente variável.
Passo 2
Definimos y = x^{\sqrt{x}} e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar o expoente:
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo,
. No direito, temos produto entre
e
. Calculamos:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Portanto
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por y e lembrando que y=x^{\sqrt{x}}, obtemos a derivada
Resposta
f’(x)=\displaystyle \frac{x^{\sqrt{x}}\bigl(\ln x + 2\bigr)}{2\sqrt{x}}