Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
(b) ; f(x)=x^raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{\sqrt{x}}, ou seja, uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Vamos usar diferenciação logarítmica, uma técnica útil quando temos expoente variável.

Passo 2

Definimos y = x^{\sqrt{x}} e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar o expoente:
ln y = raizx,ln x

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, ddx[ln y]=y'y. No direito, temos produto entre u=raizx e v=ln x. Calculamos:
dudx=12raizx, dvdx=1x
Aplicando a regra do produto:
ddx[raizx,ln x]=12raizxln x + raizxcdot1x

Passo 4

Portanto
y'y=ln x2raizx+raizxx = ln x2raizx+1raizx = ln x + 22raizx

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por y e lembrando que y=x^{\sqrt{x}}, obtemos a derivada
y'=x^raizxcdotln x + 22raizx

Resposta

f’(x)=\displaystyle \frac{x^{\sqrt{x}}\bigl(\ln x + 2\bigr)}{2\sqrt{x}}

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