Expresse d yd x=y^prime em termos de x e y, sendo y=f(x) uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
(i) ; x^3+x^2 y+y^2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita x^3 + x^2 y + y^2 = 0. O conteúdo é diferenciação implícita; vamos usar regra da potência, produto e cadeia para encontrar tfracdydx.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, aplicando regra da potência em x^3, regra do produto em x^2y e regra da cadeia em y^2:
3x^2 + (x^2 cdot y' + 2x cdot y) + 2y cdot y' = 0

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm y' e os que não contêm, e fatoramos y':
(x^2 + 2y),y' + (3x^2 + 2xy) = 0

Passo 4

Isolando y', passamos o termo livre para o outro lado e dividimos por x^2 + 2y:
y' = -3x^2 - 2xyx^2 + 2y

Resposta

dydx = -3x^2 - 2xyx^2 + 2y

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