Mostrar que a função
é solução da equação diferencial
e em seguida determine o valor das constantes
e
de modo que atenda as condições iniciais
e
.
Passo 1
A equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forma canônica
. Aqui
. A parte homogênea tem equação característica
, raiz dupla
, logo a solução geral homogênea é
. O enunciado propõe como solução completa
Vamos mostrar que esse
Passo 2
Vamos calcular as derivadas primeiras e segundas de forma direta. Defina
então
Derivando:
onde
E derivando de novo:
com
Passo 3
Agora substituímos em
. Como
satisfaz a parte homogênea, suas contribuições somam zero. Restam os termos de
. Compute
Isso mostra
como queríamos.
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais. Em
:
Para
Substituindo
dá
, ou seja
.
Resposta
C_{1}=1\quade\quad C_{2}=3