Mostrar que a função y(x)=C1 e^-x+C2 x e^-x+(x^36+x^2) é solução da equação diferencial y^prime prime+ 2 y^prime+y=(x+2) e^-x e em seguida determine o valor das constantes C1 e C2 de modo que atenda as condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=2.

Passo 1

A equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forma canônica y''+2y'+y=f(x). Aqui f(x)=(x+2)e^-x. A parte homogênea tem equação característica r^2+2r+1=0, raiz dupla r=-1, logo a solução geral homogênea é yh=C1e^-x+C2x e^-x. O enunciado propõe como solução completa
y(x)=C1e^-x+C2x e^-x + l(tfracx^36+x^2r)e^-x
Vamos mostrar que esse y(x) satisfaz a ODE e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas primeiras e segundas de forma direta. Defina
b(x)=tfracx^36+x^2,
então
y(x)=C1e^-x+C2x e^-x+b(x)e^-x
Derivando:
y'(x)=-C1e^-x+C2e^-x-C2x e^-x + b'(x)e^-x-b(x)e^-x,
onde b'(x)=tfracx^22+2x. Simplificando:
y'(x)=(-C1+C2 -C2x + b'(x)-b(x))e^-x
E derivando de novo:
y''(x)=(C1 -2C2 +C2x + b''(x)-2b'(x)+b(x))e^-x,
com b''(x)=x+2.

Passo 3

Agora substituímos em y''+2y'+y. Como yh=C1e^-x+C2x e^-x satisfaz a parte homogênea, suas contribuições somam zero. Restam os termos de b(x)e^-x. Compute
b''(x)+2b'(x)+b(x)=(x+2)+2l(tfracx^22+2xr)+l(tfracx^36+x^2r)=x+2+x^2+4x+tfracx^36+x^2=x+2+5x+2x^2+tfracx^36
Isso mostra
y''+2y'+y=(x+2)e^-x,
como queríamos.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Em x=0:
y(0)=C1e^0+C2cdot0 +0= C1 =1
Para y'(0), do resultado de y'(x) notamos que os termos de b(x)e^-x em zero somam zero, ficando
y'(0)=-C1+C2=2
Substituindo C1=1 -1+C2=2, ou seja C2=3.

Resposta

C_{1}=1\quade\quad C_{2}=3

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