Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
(c) ; f(x)=(raizx)^x

Passo 1

No enunciado temos a função f(x) = (raizx)^x. O conteúdo envolve derivação de funções com expoente dependente da variável e vamos usar log-diferenciação e regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Reescrevendo a base: como raizx = x^1/2, temos
f(x)=x^x/2

Passo 3

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para facilitar:
ln f(x) = lnl(x^x/2r) = x2ln x Aqui usamos a propriedade ln(a^b)=bln a.

Passo 4

Agora derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo ddx[ln f(x)] = f'(x)f(x). No direito, derivamos x2ln x usando a regra do produto:
ddxl(x2ln xr) = 12ln x + x2cdot1x = 12ln x + 12

Passo 5

Isolando f'(x), multiplicamos os dois lados por f(x):
f'(x)f(x) = 12ln x + 12 Rightarrow f'(x) = f(x)l(12ln x + 12r) Voltando à forma original da função:

Passo 6

Substituindo f(x)=(raizx)^x obtemos
f'(x)=(raizx)^xln x +12

Resposta

f'(x) = (raizx)^xln x +12

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