Expresse d yd x=y^prime em termos de x e y, sendo y=f(x) uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
(h) ; x^3+y^3=a^3, a in R

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar a derivada implícita y'=dydx da curva dada por x^3 + y^3 = a^3. O conteúdo aqui é diferenciação implícita: vamos derivar em relação a x, lembrando que y é função de x, ou seja, y=y(x).

Passo 2

Derivando ambos os lados da igualdade x^3 + y^3 = a^3 em relação a x, temos:
ddx(x^3) + ddx(y^3) = ddx(a^3)
Pela regra da potência, ddx(x^3)=3x^2. Para y^3, usamos a regra da cadeia:
ddx(y^3)=3y^2 cdot dydx=3y^2 y'
E a^3 é constante, então sua derivada é zero.

Passo 3

Substituindo na derivada temos:
3x^2 + 3y^2 y' = 0
Agora basta isolar y':
3y^2 y' = -3x^2
y' = -3x^23y^2 = -x^2y^2

Resposta

y' = -dfracx^2y^2

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