Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função f(x)=x^{sen(x)} usando regra da cadeia ou derivação implícita. O conteúdo envolve derivadas de exponenciais e funções compostas, e vamos usar a reescrita em forma de exponencial para aplicar regras de forma mais simples.
Passo 2
Reescrevemos a função em termos de exponencial pois isso facilita a derivação de bases variáveis. Definimos g(x)=sen(x)·ln(x) e então
[ f(x)=x^{sen(x)} = e^{g(x)} ]
[ f(x)=x^{sen(x)} = e^{g(x)} ]
Passo 3
Calculamos g’(x) usando a regra do produto e a derivada de ln(x): para g(x)=sen(x)·ln(x) temos
[ g’(x)=\frac{d}{dx}[sen(x)]·\ln(x) + sen(x)·\frac{d}{dx}[\ln(x)] = cos(x)\ln(x) + sen(x)·\frac{1}{x} ]
[ g’(x)=\frac{d}{dx}[sen(x)]·\ln(x) + sen(x)·\frac{d}{dx}[\ln(x)] = cos(x)\ln(x) + sen(x)·\frac{1}{x} ]
Passo 4
Aplicamos a derivada de exponencial composta: se f(x)=e^{g(x)} então f’(x)=e^{g(x)}·g’(x). Substituindo g’(x) e voltando à forma original de f(x) temos
[ f’(x)=x^{sen(x)}\bigl(cos(x)\ln(x)+\tfrac{sen(x)}{x}\bigr) ]
[ f’(x)=x^{sen(x)}\bigl(cos(x)\ln(x)+\tfrac{sen(x)}{x}\bigr) ]
Resposta
f’(x)=x^{sen(x)}\Bigl(cos(x)\ln(x)+\tfrac{sen(x)}{x}\Bigr)