Expresse d yd x=y^prime em termos de x e y, sendo y=f(x) uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
(k) ; y^3=x-yx+y

Passo 1

O enunciado nos dá uma função implícita dada por
y^3 = x - yx + y
Precisamos encontrar y' = dydx em termos de x e y. Para isso vamos usar diferenciação implícita e a regra do quociente.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
Pelo lado esquerdo, usando a regra da cadeia, temos
ddx(y^3) = 3y^2 cdot y'
Pelo lado direito, aplicamos a regra do quociente. Se u = x - y e v = x + y, então u' = 1 - y' e v' = 1 + y', logo
ddxl(tfracuvr) = u'v - u v'v^2 = (1 - y')(x + y) - (x - y)(1 + y')(x + y)^2

Passo 3

Agora vamos simplificar o numerador:
(1 - y')(x + y) = x + y - y'(x + y), (x - y)(1 + y') = x - y + y'(x - y)
Subtraindo os dois resultados:
(x + y - y'(x + y)) - (x - y + y'(x - y)) = 2y - 2x,y'
Portanto
ddxl(tfracx - yx + yr) = 2y - 2x,y'(x + y)^2

Passo 4

Igualando as derivadas obtidas:
3y^2,y' = 2y - 2x,y'(x + y)^2
Multiplicando ambos os lados por (x + y)^2 e agrupando os termos em y':
3y^2 (x + y)^2 ,y' = 2y - 2x,y' y'l[3y^2 (x + y)^2 + 2xr] = 2y
Isolando y':
y' = 2y3y^2 (x + y)^2 + 2x

Resposta

y' = 2y3y^2,(x + y)^2 + 2x

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