Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
(e) f(x)=x^cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=x^{\cos x}, usando regra da cadeia ou derivação implícita. Vamos precisar de logaritmo natural para tratar a potência variável e do produto e cadeia para derivar.

Passo 2

Definimos y=x^{\cos x} e aplicamos ln dos dois lados para facilitar:
ln y=lnl(x^cos xr)=cos xcdotln x

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos derivada de ln y (regra da cadeia) e, no direito, usamos produto entre cos x e ln x:
y'y=(-sin x)cdotln x+cos xcdot1x

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y para isolar y’:
$$
y’=y\biggl(-\sin x\ln x+\frac{\cos x}{x}\biggr)$$

Passo 5

Por fim, substituímos y=x^{\cos x} para voltar à f(x):
$$
f’(x)=x^{\cos x}\Bigl(\frac{\cos x}{x}-\sin x\ln x\Bigr)$$

Resposta

f’(x)=x^{\cos x}\Bigl(\frac{\cos x}{x}-\sin x\ln x\Bigr)

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