Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função f(x)=x^{\cos x}, usando regra da cadeia ou derivação implícita. Vamos precisar de logaritmo natural para tratar a potência variável e do produto e cadeia para derivar.
Passo 2
Definimos y=x^{\cos x} e aplicamos ln dos dois lados para facilitar:
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos derivada de ln y (regra da cadeia) e, no direito, usamos produto entre cos x e ln x:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por y para isolar y’:
$$
y’=y\biggl(-\sin x\ln x+\frac{\cos x}{x}\biggr)$$
Passo 5
Por fim, substituímos y=x^{\cos x} para voltar à f(x):
$$
f’(x)=x^{\cos x}\Bigl(\frac{\cos x}{x}-\sin x\ln x\Bigr)$$
Resposta
f’(x)=x^{\cos x}\Bigl(\frac{\cos x}{x}-\sin x\ln x\Bigr)