Seja
(b)
é derivável em 3? Justifique.
(b)
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x) =
A questão (parte b) pergunta se f é derivável em x=3. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade em um ponto e calcular as derivadas laterais (limites do quociente de diferença) em x=3.
f(x) =
A questão (parte b) pergunta se f é derivável em x=3. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade em um ponto e calcular as derivadas laterais (limites do quociente de diferença) em x=3.
Passo 2
Para verificar a continuidade em x=3, calculamos os limites laterais e o valor de f(3):
[\lim_{x\to3-}f(x)=0,\quad\lim_{x\to3+}f(x)=0,\quad f(3)=0]
Como os limites laterais coincidem com f(3), a função é contínua em 3.
[\lim_{x\to3-}f(x)=0,\quad\lim_{x\to3+}f(x)=0,\quad f(3)=0]
Como os limites laterais coincidem com f(3), a função é contínua em 3.
Passo 3
Calculamos a derivada pela esquerda em x=3 usando o quociente de diferença:
[\lim_{x\to3-}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\to3-}\frac{(-x+3)-0}{x-3}=\lim_{x\to3^-}\frac{-(x-3)}{x-3}=-1]
[\lim_{x\to3-}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\to3-}\frac{(-x+3)-0}{x-3}=\lim_{x\to3^-}\frac{-(x-3)}{x-3}=-1]
Passo 4
Calculamos a derivada pela direita em x=3 da mesma forma:
[\lim_{x\to3+}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\to3+}\frac{(x-3)-0}{x-3}=\lim_{x\to3^+}1=1]
[\lim_{x\to3+}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\to3+}\frac{(x-3)-0}{x-3}=\lim_{x\to3^+}1=1]
Passo 5
Como as derivadas laterais são diferentes (−1 na esquerda e 1 na direita), o limite do quociente de diferença não existe em x=3. Portanto, a função não é derivável em 3.
Resposta
Não. A função não é derivável em x=3, pois as derivadas laterais em 3 são diferentes (−1 \neq 1).