Determine e faça o esborço das curvas de nível da função.
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Passo 1
Nesse exercício queremos encontrar as curvas de nível da função z = y / x², ou seja, os contornos no plano (x,y) em que a função assume um valor constante z = k. Vamos usar o conceito de curva de nível: dado f(x,y), a curva de nível de nível k é o conjunto de pontos que satisfazem f(x,y) = k.
Passo 2
Aplicamos a definição de curva de nível, igualando z = y / x² a uma constante k:
Desse modo, isolamos y para expressar cada curva no plano (x,y):
Passo 3
A família de curvas y = k x² são parábolas com vértice na origem. Quando k > 0, a parábola abre para cima; quando k < 0, abre para baixo; e para k = 0 obtemos y = 0 (o eixo x).
No esboço, desenhamos várias parábolas centradas na origem, uma acima do eixo x para k positivo (por exemplo k = 1,2) e outra abaixo para k negativo (por exemplo k = –1, –2), além da reta y = 0 para k = 0. Cada curva recebe a etiqueta do valor k correspondente.
No esboço, desenhamos várias parábolas centradas na origem, uma acima do eixo x para k positivo (por exemplo k = 1,2) e outra abaixo para k negativo (por exemplo k = –1, –2), além da reta y = 0 para k = 0. Cada curva recebe a etiqueta do valor k correspondente.
Resposta
As curvas de nível são as parábolas
y = k,x^{2},
com k ∈ ℝ. Para k>0 abrem para cima, para k<0 abrem para baixo e para k=0 coincide com o eixo x.
y = k,x^{2},
com k ∈ ℝ. Para k>0 abrem para cima, para k<0 abrem para baixo e para k=0 coincide com o eixo x.