Determine, se existir, o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y).
f(x, y)=(x+1x) y;

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) onde f(x,y)=l(x+tfrac1xr)y. O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e precisamos verificar se o valor depende do caminho de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Note que ao aproximar x de zero a parte tfrac1x pode explodir, mas ela é multiplicada por y; para ver se o produto tem valor definido, escolhemos trajetórias que relacionam y e x.

Passo 3

Na trajetória y=kx obtemos
f(x,kx)=l(x+1xr),kx = kx^2 + k
e, ao fazer xto0, o termo kx^2 some, restando k, que varia conforme a constante k.

Passo 4

Como diferentes escolhas de k dão limites distintos (por exemplo, k=0 dá 0 e k=1 dá 1), o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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