Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
f(x)=x^sen(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^sin x
Como a base e o expoente dependem de x, vamos usar derivação implícita: definimos y=f(x), aplicamos o ln em ambos os lados e depois diferenciamos usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Defina
y = x^sin x
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
ln y = lnl(x^sin xr)
Pelo fato de ln(a^b)=bln a, isso vira
ln y = sin x ,ln x

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usamos regra da cadeia; no direito, regra do produto entre sin x e ln x. Assim,
ddx(ln y) = 1y,y' e ddxl(sin x,ln xr) = (cos x)(ln x)+(sin x),1x
Logo,
1y,y' = cos x,ln x + sin xx

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y:
y' = yl(cos x,ln x + sin xxr)

Passo 5

Voltando a y=x^sin x, concluímos
f'(x)=x^sin xl(cos x,ln x + sin xxr)

Resposta

f'(x)=x^sin xl(cos x,ln x + sin xxr)

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