Com um fio de comprimento
constroi-se um arco de círculo de modo que a área do segmento circular que determina seja máxima. Qual é o raio?
Passo 1
O enunciado diz que temos um fio de comprimento
que forma um arco de círculo de raio
e ângulo central
. Queremos escolher
de modo que a área do segmento circular (área do setor menos área do triângulo formado pela corda) seja máxima. Isso envolve modelar a área em função de
e depois aplicar cálculo de extremos.
Passo 2
O comprimento do arco vale
logo
A área do segmento é a área do setor menos a área do triângulo isósceles:
Passo 3
Para que o segmento seja o menor “pedacinho” do círculo, exigimos
, ou seja
Calculando
verifica-se a condição
que, usando
e identidades trigonométricas, leva a
Chamando
, isso vira
. O único
que satisfaz isso e que corresponda a
é
, que equivale a
(área nula). Ou seja, não há máximo interno na região
.
Passo 4
Como não há extremo viável interno, o máximo de
no intervalo permitido ocorre na fronteira mais baixa, que é
isto é, quando
e o segmento é exatamente um semicírculo.