Com um fio de comprimento 2 a constroi-se um arco de círculo de modo que a área do segmento circular que determina seja máxima. Qual é o raio?

Passo 1

O enunciado diz que temos um fio de comprimento 2a que forma um arco de círculo de raio R e ângulo central varphi. Queremos escolher R de modo que a área do segmento circular (área do setor menos área do triângulo formado pela corda) seja máxima. Isso envolve modelar a área em função de R e depois aplicar cálculo de extremos.

Passo 2

O comprimento do arco vale
2a = R,varphi,
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varphi = 2aR
A área do segmento é a área do setor menos a área do triângulo isósceles:
A(R) =R^22,l(varphi-sinvarphir) =R^22l(2aR-sinl(tfrac2aRr)r) =aR ;-;R^22,sinl(2aRr)

Passo 3

Para que o segmento seja o menor “pedacinho” do círculo, exigimos varphi<=pi, ou seja
2aR<=pi Longrightarrow R>=2api
Calculando A'(R)=0 verifica-se a condição
al(1+cosvarphir)=Rsinvarphi,
que, usando varphi=2a/R e identidades trigonométricas, leva a
tan!l(varphi2r)=aR
Chamando x=a/R, isso vira tan x = x. O único x>=0 que satisfaz isso e que corresponda a varphi<=pi é x=0, que equivale a Rtoinfty (área nula). Ou seja, não há máximo interno na região R>tfrac2api.

Passo 4

Como não há extremo viável interno, o máximo de A(R) no intervalo permitido ocorre na fronteira mais baixa, que é
R = 2api,
isto é, quando varphi=pi e o segmento é exatamente um semicírculo.

Resposta

R = 2api

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