Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
f(x)=x^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^x, uma função em que a variável aparece tanto na base quanto no expoente. Para resolver esse tipo de problema de forma elegante, vamos usar a diferenciação logarítmica, o que envolve aplicar o ln, usar a regra da cadeia e a derivação implícita.

Passo 2

Definimos
y = x^x
e aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl(x^xr)
Pelo fato de ln(a^b)=bln a, temos
ln y = x,ln x

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, a derivada de ln y é tfracy'y. No direito, usamos a regra do produto em xln x:
y'y = ddxl(xln xr) = 1cdotln x + xcdot1x = ln x + 1

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y,l(ln x + 1r)

Passo 5

Lembrando que y = x^x, substituímos de volta:
y' = x^x,l(ln x + 1r)

Resposta

f'(x) = x^x,(ln x + 1)

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