Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
f(x)=\left(2 x^{4}-1\right)\left(5 x^{3}+6 x\right);

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para derivá-la:
f(x)=\left(2 x^{4}-1\right)\left(5 x^{3}+6 x\right).
O que se pede: encontrar f'(x), ou seja, a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: temos um produto de duas funções \,u(x)=2x^{4}-1 e \,v(x)=5x^{3}+6x. A forma mais direta é aplicar a regra do produto:
(u\cdot v)'=u'\,v+u\,v'.
Outra forma possível é expandir o produto e depois derivar termo a termo; ambas dão o mesmo resultado. Vou usar a regra do produto porque é direta e exige menos expansão inicialmente.

Passo 3

Relembrando as regras básicas que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
  • Regra do produto: para u(x) e v(x),
(u\cdot v)'=u'\,v+u\,v'.
Aqui u' indica a derivada de u em relação a x, e v' a derivada de v.
  • Regra da potência (power rule): para n inteiro,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • Regra da constante e do fator constante: se a é constante,
\frac{d}{dx}(a)=0,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot g'(x).
Exemplo: \dfrac{d}{dx}(5x^{3})=5\cdot 3x^{2}=15x^{2}.

Passo 4

Identificar as duas funções que compõem o produto e derivá-las separadamente.
Defina
u(x)=2x^{4}-1, \qquad v(x)=5x^{3}+6x.
Agora calculo u'(x) e v'(x) usando a regra da potência e a linearidade:
  • Para u(x)=2x^{4}-1:
u'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}(x^{4})-\frac{d}{dx}(1)=2\cdot(4x^{3})-0=8x^{3}.
Expliquei: derivei x^{4} como 4x^{3} e multipliquei pelo 2; a derivada de constante -1 é 0.
  • Para v(x)=5x^{3}+6x:
v'(x)=5\cdot\frac{d}{dx}(x^{3})+6\cdot\frac{d}{dx}(x)=5\cdot(3x^{2})+6\cdot(1)=15x^{2}+6.

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' encontrados:
f'(x)=(8x^{3})\bigl(5x^{3}+6x\bigr)+(2x^{4}-1)\bigl(15x^{2}+6\bigr).

Passo 6

Agora faço a expansão cuidadosa termo a termo (para que dê para seguir passo a passo na prova):
Primeiro produto:
(8x^{3})(5x^{3})=40x^{6},\qquad (8x^{3})(6x)=48x^{4}.
Segundo produto:
(2x^{4})(15x^{2})=30x^{6},\qquad (2x^{4})(6)=12x^{4},
(-1)(15x^{2})=-15x^{2},\qquad (-1)(6)=-6.

Passo 7

Somando todos os termos obtidos:
f'(x)=40x^{6}+48x^{4}+30x^{6}+12x^{4}-15x^{2}-6.

Passo 8

Agrupando termos semelhantes (coeficientes dos mesmos poderes de x):
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{6}:&\\\ 40+30=70,\\\ \text{coeficiente de }x^{4}:&\\\ 48+12=60, \end{aligned}
portanto
f'(x)=70x^{6}+60x^{4}-15x^{2}-6.

Passo 9

Verificação rápida (cheque mental): se tivesse expandido f(x) antes de derivar, obteria um polinômio de grau 7 dividido entre termos que ao derivar dariam exatamente os mesmos coeficientes que combinamos acima. Assim o resultado está consistente.

Resposta

f'(x)=70x^{6}+60x^{4}-15x^{2}-6

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