Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá-la:
O que se pede: encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Escolha do método: temos um produto de duas funções
e
. A forma mais direta é aplicar a regra do produto:
Outra forma possível é expandir o produto e depois derivar termo a termo; ambas dão o mesmo resultado. Vou usar a regra do produto porque é direta e exige menos expansão inicialmente.
Passo 3
Relembrando as regras básicas que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
- Regra do produto: para
e ,
Aqui
indica a derivada de
em relação a
, e
a derivada de
.
- Regra da potência (power rule): para
inteiro,
Exemplo simples:
.
- Regra da constante e do fator constante: se
é constante,
Exemplo:
.
Passo 4
Identificar as duas funções que compõem o produto e derivá-las separadamente.
Defina
Defina
Agora calculo
e
usando a regra da potência e a linearidade:
- Para
:
Expliquei: derivei
como
e multipliquei pelo
; a derivada de constante
é
.
- Para
:
Passo 5
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
encontrados:
Passo 6
Agora faço a expansão cuidadosa termo a termo (para que dê para seguir passo a passo na prova):
Primeiro produto:
Primeiro produto:
Segundo produto:
Passo 7
Somando todos os termos obtidos:
Passo 8
Agrupando termos semelhantes (coeficientes dos mesmos poderes de
):
portanto
Passo 9
Verificação rápida (cheque mental): se tivesse expandido
antes de derivar, obteria um polinômio de grau
dividido entre termos que ao derivar dariam exatamente os mesmos coeficientes que combinamos acima. Assim o resultado está consistente.