Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left[\left(\mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}+2\right)\left(2 \mathrm{x}^{3}+1\right)\right] ;;

Passo 1

O enunciado dá a função e pede para derivá-la:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left[\left(\mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}+2\right)\left(2 \mathrm{x}^{3}+1\right)\right].
Informações relevantes:
  • A função é produto de duas funções polinomiais: u(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-3\mathrm{x}+2 e v(\mathrm{x})=2\mathrm{x}^{3}+1.
  • O objetivo é encontrar \mathrm{f}'(\mathrm{x}), a derivada de \mathrm{f} em relação a \mathrm{x}.

Passo 2

Regra que vamos usar (regra do produto). Se u(\mathrm{x}) e v(\mathrm{x}) são funções diferenciáveis, então
\bigl(u(\mathrm{x})\,v(\mathrm{x})\bigr)' = u'(\mathrm{x})\,v(\mathrm{x}) + u(\mathrm{x})\,v'(\mathrm{x}).
Explicando: aqui u'(\mathrm{x}) é a derivada de u em relação a \mathrm{x} e v'(\mathrm{x}) é a derivada de v. Essa regra diz que a derivada do produto é soma de dois produtos: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.

Passo 3

Identificar u e v e calcular suas derivadas termo a termo.
Definir
u(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-3\mathrm{x}+2, \qquad v(\mathrm{x})=2\mathrm{x}^{3}+1.
Regras básicas usadas aqui:
  • Derivada de \mathrm{x}^{n} é n\mathrm{x}^{n-1}.
  • Derivada de a\mathrm{x} (com a constante) é a.
  • Derivada de constante é 0.
Calcular u'(\mathrm{x}):
  • Derivada de \mathrm{x}^{2} é 2\mathrm{x}.
  • Derivada de -3\mathrm{x} é -3.
  • Derivada de 2 é 0.
    Portanto
u'(\mathrm{x})=2\mathrm{x}-3.
Calcular v'(\mathrm{x}):
  • Derivada de 2\mathrm{x}^{3} é 2\cdot 3\mathrm{x}^{2}=6\mathrm{x}^{2}.
  • Derivada de 1 é 0.
    Portanto
v'(\mathrm{x})=6\mathrm{x}^{2}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
\mathrm{f}'(\mathrm{x})=u'(\mathrm{x})\,v(\mathrm{x}) + u(\mathrm{x})\,v'(\mathrm{x}).
Substituindo as funções e derivadas encontradas:
\mathrm{f}'(\mathrm{x})=(2\mathrm{x}-3)(2\mathrm{x}^{3}+1) + (\mathrm{x}^{2}-3\mathrm{x}+2)(6\mathrm{x}^{2}).

Passo 5

Expandir o primeiro produto (2\mathrm{x}-3)(2\mathrm{x}^{3}+1) usando distributiva:
  • 2\mathrm{x}\cdot 2\mathrm{x}^{3}=4\mathrm{x}^{4}.
  • 2\mathrm{x}\cdot 1=2\mathrm{x}.
  • -3\cdot 2\mathrm{x}^{3}=-6\mathrm{x}^{3}.
  • -3\cdot 1=-3.
    Logo
(2\mathrm{x}-3)(2\mathrm{x}^{3}+1)=4\mathrm{x}^{4}-6\mathrm{x}^{3}+2\mathrm{x}-3.

Passo 6

Expandir o segundo produto (\mathrm{x}^{2}-3\mathrm{x}+2)(6\mathrm{x}^{2}). Multiplica-se cada termo por 6\mathrm{x}^{2}:
  • \mathrm{x}^{2}\cdot 6\mathrm{x}^{2}=6\mathrm{x}^{4}.
  • -3\mathrm{x}\cdot 6\mathrm{x}^{2}=-18\mathrm{x}^{3}.
  • 2\cdot 6\mathrm{x}^{2}=12\mathrm{x}^{2}.
    Logo
(\mathrm{x}^{2}-3\mathrm{x}+2)(6\mathrm{x}^{2})=6\mathrm{x}^{4}-18\mathrm{x}^{3}+12\mathrm{x}^{2}.

Passo 7

Somar os dois resultados e juntar termos semelhantes:
\mathrm{f}'(\mathrm{x})=(4\mathrm{x}^{4}-6\mathrm{x}^{3}+2\mathrm{x}-3)+(6\mathrm{x}^{4}-18\mathrm{x}^{3}+12\mathrm{x}^{2}).
Agrupando coeficientes por potências de \mathrm{x}:
  • \mathrm{x}^{4}: 4\mathrm{x}^{4}+6\mathrm{x}^{4}=10\mathrm{x}^{4}.
  • \mathrm{x}^{3}: -6\mathrm{x}^{3}-18\mathrm{x}^{3}=-24\mathrm{x}^{3}.
  • \mathrm{x}^{2}: 0+12\mathrm{x}^{2}=12\mathrm{x}^{2}.
  • \mathrm{x}^{1}: 2\mathrm{x}.
  • termo constante: -3.
Portanto
\mathrm{f}'(\mathrm{x})=10\mathrm{x}^{4}-24\mathrm{x}^{3}+12\mathrm{x}^{2}+2\mathrm{x}-3.

Resposta

\mathrm{f}'(\mathrm{x})=10\mathrm{x}^{4}-24\mathrm{x}^{3}+12\mathrm{x}^{2}+2\mathrm{x}-3

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