Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left[\left(\mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}+2\right)\left(2 \mathrm{x}^{3}+1\right)\right] ;;
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left[\left(\mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}+2\right)\left(2 \mathrm{x}^{3}+1\right)\right] ;;
Passo 1
O enunciado dá a função e pede para derivá-la:
Informações relevantes:
- A função é produto de duas funções polinomiais:
e . - O objetivo é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Regra que vamos usar (regra do produto). Se
e
são funções diferenciáveis, então
Explicando: aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
. Essa regra diz que a derivada do produto é soma de dois produtos: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas termo a termo.
Definir
Regras básicas usadas aqui:
- Derivada de
é . - Derivada de
(com constante) é . - Derivada de constante é
.
Calcular
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Calcular
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra do produto:
Substituindo as funções e derivadas encontradas:
Passo 5
Expandir o primeiro produto
usando distributiva:
-
. -
. -
. -
.
Logo
Passo 6
Expandir o segundo produto
. Multiplica-se cada termo por
:
-
. -
. -
.
Logo
Passo 7
Somar os dois resultados e juntar termos semelhantes:
Agrupando coeficientes por potências de
:
-
: . -
: . -
: . -
: . - termo constante:
.
Portanto