Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
f(x)=\left(\frac{x}{x-1}\right);

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada da função dada. Informações do enunciado:
  • Função: f(x)=\left(\frac{x}{x-1}\right).
  • Domínio implícito: x \neq 1 (porque o denominador não pode ser zero).
  • Objetivo: calcular f'(x), a derivada de f em pontos do domínio.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão para facilitar a derivação (isso evita usar fórmulas maiores se não for necessário). Observação simples de álgebra:
x = (x-1) + 1,
então
\frac{x}{x-1} = \frac{(x-1)+1}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1}.
Portanto podemos reescrever
f(x)=1 + \frac{1}{x-1}.

Passo 3

Agora vou lembrar duas regras básicas que vou usar:
  • Regra da derivada de constante: a derivada de uma constante c é 0. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\bigl(c\bigr)=0.
  • Regra da potência e regra da cadeia combinadas: se h(x)=(u(x))^{n} com n real, então
\frac{d}{dx}h(x)=n\,(u(x))^{n-1}\,u'(x).
No nosso caso a parte \dfrac{1}{x-1} pode ser escrita como (x-1)^{-1}. Aqui u(x)=x-1 e u'(x)=1.

Passo 4

Aplicando as regras ao termo reescrito:
  • Derivada de 1 é 0.
  • Derivada de (x-1)^{-1} usando a regra da potência com n=-1 e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl((x-1)^{-1}\bigr) = -1\,(x-1)^{-2}\cdot 1 = -(x-1)^{-2}.
Juntando os termos,
f'(x)=0 - (x-1)^{-2} = -(x-1)^{-2}.
Reescrevendo em forma de fração,
f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2},
válido para x\neq 1.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas útil): usar a regra do quociente para confirmar. A regra do quociente diz que, para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}.
Aqui u(x)=x (logo u'(x)=1) e v(x)=x-1 (logo v'(x)=1). Aplicando:
f'(x)=\frac{1\cdot(x-1)-x\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{x-1-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2},
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

-\dfrac{1}{(x-1)^2}

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