Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
;
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada da função dada. Informações do enunciado:
- Função:
. - Domínio implícito:
(porque o denominador não pode ser zero). - Objetivo: calcular
, a derivada de em pontos do domínio.
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão para facilitar a derivação (isso evita usar fórmulas maiores se não for necessário). Observação simples de álgebra:
então
Portanto podemos reescrever
Passo 3
Agora vou lembrar duas regras básicas que vou usar:
- Regra da derivada de constante: a derivada de uma constante
é . Ou seja, . - Regra da potência e regra da cadeia combinadas: se
com real, então
No nosso caso a parte
pode ser escrita como
. Aqui
e
.
Passo 4
Aplicando as regras ao termo reescrito:
- Derivada de
é . - Derivada de
usando a regra da potência com e a regra da cadeia:
Juntando os termos,
Reescrevendo em forma de fração,
válido para
.
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, mas útil): usar a regra do quociente para confirmar. A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
(logo
) e
(logo
). Aplicando:
que coincide com o resultado anterior.