Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
;
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
. As informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - Observação importante da expressão: o denominador anula em
, portanto a função (e sua derivada) só fazem sentido para .
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão algébrica para facilitar a derivação. Note que ambos numerador e denominador são quadrados perfeitos:
Portanto podemos reescrever a função como
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia porque
é o quadrado de uma função interna. Se definirmos
então
A regra da cadeia (caso concreto da potência) diz que, para
,
Aqui
é a derivada da função interna
. Vou agora calcular
.
Passo 4
Para derivar
usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
,
No nosso caso
e
. Calculando as derivadas simples:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Agora voltamos à regra da cadeia:
. Substituindo
e
:
Multiplicando os fatores e simplificando os denominadores:
Ou, escrito de forma habitual,
Passo 6
Comentário final e domínio: a derivada obtida está válida para
, pois tanto
quanto
têm singularidade em
. Se desejar, pode conferir aplicando a regra do quociente diretamente à forma original
; o resultado será o mesmo.