Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
f(x)=\left(\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-2 x+1}\right);

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \,f(x)=\left(\dfrac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x+1}\right). As informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é uma razão de polinômios: numerador \,x^{2}+2x+1 e denominador \,x^{2}-2x+1.
  • Observação importante da expressão: o denominador anula em x=1, portanto a função (e sua derivada) só fazem sentido para x\neq1.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão algébrica para facilitar a derivação. Note que ambos numerador e denominador são quadrados perfeitos:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}, \qquad x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Portanto podemos reescrever a função como
f(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia porque f é o quadrado de uma função interna. Se definirmos
g(x)=\frac{x+1}{x-1},
então
f(x)=(g(x))^{2}.
A regra da cadeia (caso concreto da potência) diz que, para f(x)= (g(x))^{2},
f'(x)=2\,g(x)\,g'(x).
Aqui g'(x) é a derivada da função interna g. Vou agora calcular g'(x).

Passo 4

Para derivar g(x)=\dfrac{x+1}{x-1} usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^{2}}.
No nosso caso u(x)=x+1 e v(x)=x-1. Calculando as derivadas simples:
u'(x)=1,\qquad v'(x)=1.
Aplicando a regra do quociente:
g'(x)=\frac{(1)(x-1)-(x+1)(1)}{(x-1)^{2}}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^{2}}=\frac{-2}{(x-1)^{2}}.

Passo 5

Agora voltamos à regra da cadeia: f'(x)=2\,g(x)\,g'(x). Substituindo g(x) e g'(x):
f'(x)=2\cdot\frac{x+1}{x-1}\cdot\left(\frac{-2}{(x-1)^{2}}\right).
Multiplicando os fatores e simplificando os denominadores:
f'(x)=-4\cdot\frac{x+1}{(x-1)^{3}}.
Ou, escrito de forma habitual,
f'(x)=-\frac{4(x+1)}{(x-1)^{3}}.

Passo 6

Comentário final e domínio: a derivada obtida está válida para x\neq1, pois tanto f quanto f' têm singularidade em x=1. Se desejar, pode conferir aplicando a regra do quociente diretamente à forma original \dfrac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x+1}; o resultado será o mesmo.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{4(x+1)}{(x-1)^{3}}

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