Derive as seguintes funções (sem utilizar a Regra da Cadeia):
f(x)=xx-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=xx-1
ou seja, estamos no conteúdo de derivada de funções racionais. Para não usar a Regra da Cadeia, vamos transformar f em soma de termos mais simples antes de derivar.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como soma de um termo constante e uma potência de (x-1):
f(x)=xx-1 =x-1+1x-1 =1+1x-1 =1+(x-1)^-1

Passo 3

Agora derivamos cada parcela separadamente:
– A derivada de 1 é 0.
– A derivada de (x-1)^-1 aplica a regra da potência dl[x^nr]/dx=n,x^n-1, lembrando que a derivada de x é 1 e a de -1 (constante) é 0. Assim,
ddx(x-1)^-1 =-1,(x-1)^-2

Passo 4

Somando as derivadas das parcelas, obtemos
f'(x)=0+(-1)(x-1)^-2 =-,(x-1)^-2 =-1(x-1)^2

Resposta

f'(x)=-1(x-1)^2

Exercícios relacionados