Derive as seguintes funções (sem utilizar a Regra da Cadeia):
f(x)=x^2+2 xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^2+2xx^2+1
Estamos no conteúdo de diferenciação de quocientes de funções polinomiais. Para resolver sem usar a Regra da Cadeia, vamos usar:
  1. Regra do quociente: se u e v são funções de x,
gl(uvgr)'=u',v - u,v'v^2
  1. Regra da soma e do coeficiente constante: l(a,g(x)r)'=a,g'(x) e (g+h)'=g'+h'.
  2. Regra do poder (caso especial de potência): l(x^nr)'=n,x^n-1.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2+2x, v(x)=x^2+1

Passo 3

Calculamos as derivadas u' e v' usando soma e poder:
u'(x)=(x^2)'+(2x)'=2x+2, v'(x)=(x^2)'+1'=2x+0=2x

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =(2x+2)(x^2+1)-(x^2+2x)(2x)(x^2+1)^2

Passo 5

Expandindo e simplificando o numerador:
(2x+2)(x^2+1)=2x^3+2x^2+2x+2,
(x^2+2x)(2x)=2x^3+4x^2,
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(2x^3+2x^2+2x+2)-(2x^3+4x^2) =-2x^2+2x+2
Portanto,
f'(x) =-2x^2+2x+2(x^2+1)^2 =2l(-x^2+x+1r)(x^2+1)^2

Resposta

f'(x)=-2x^2+2x+2(x^2+1)^2

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